8.6. Асимптоты графика функции.

Самый простой вид зависимости одной переменной от другой - линейная зависимость, поэтому из всего множества функций выделяют функции, имеющие асимптоты, т.е. функции, графики которых при удалении точки от начала системы координат сколь угодно близко приближаются к некоторой прямой.

Опр.8.6.1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов или равен или .

Из этого определения следует, что прямая может быть вертикальной асимптотой графика функции только в случае, когда точка - точка разрыва второго рода этой функции.

Опр.8.6.2. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если функцию можно представить в виде , где при (или , или ).

Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота, соответствующая случаю . Из определения наклонной асимптоты следует, что прямая будет горизонтальной асимптотой графика функции , если при (или , или ) функция .

График функции может приближаться к своей асимптоте, оставаясь

выше её ниже её колеблясь вокруг её

Если условия определения наклонной (или горизонтальной) асимптоты выполняются при , будем называть эту асимптоту односторонней левой (или левосторонней, или просто левой); если эти условия выполняются при , будем называть асимптоту односторонней правой (или правосторонней, правой); в случае, если эти условия выполняются при , будем называть асимптоту двусторонней (или просто асимптотой, не уточняя направления).

Условия существования наклонной (и, как следствие, горизонтальной) асимптоты даёт следующая теорема, которую мы сформулируем и докажем для случая (остальные случаи рассматриваются аналогично).

Теор.8.6.1. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при , необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

.

Док-во. Необходимость. Пусть прямая - наклонная асимптота графика функции при , т.е., согласно определению, , где при . Тогда . Переходим к пределу при . , следовательно, . С другой стороны, в этом случае , и так как существует предел правой части этого равенства, то существует и предел левой части, и .

Достаточность. Пусть два указанных предела существуют, тогда по теор.4.4.9 (о связи функции с её пределом) ( - БМ при ), т.е. прямая - действительно наклонная асимптота графика функции при .

Примеры: найти асимптоты графиков функций

1. .

Так как , , прямая - вертикальная асимптота графика этой функции. Для определения наклонных асимптот ищем : . Таким образом, если наклонные асимптоты существуют, то . Находим : . Итак, прямая - двусторонняя наклонная асимптота.График функции и её асимптоты приведены на рисунке справа.

2. . Функция определена при , поэтому вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты:

.

Из последнего выражения следует необходимость отдельного рассмотрения случаев и . При , поэтому ;

. При , . Итак, прямая - асимптота функции при ; прямая - асимптота функции при .

8.7. Схема исследования функций и построения графиков.

Сведём рассмотренные в этом разделе отдельные элементы в один алгоритм, с помощью которого исследуются функции и строятся их графики.

1. Общий характер функции:

• область определения функции и, если это возможно, область её значений;

• наличие чётности, периодичности;

• нахождение, если это возможно, пересечений графика функции с осями координат и областей её знакопостоянства (граничными точками интервалов знакопостоянства могут быть только концы интервалов области определения, точки разрыва, нули функции);

• область непрерывности функции, её разрывы и их характер;

• пределы при стремлении к границам области определения (при этом будут получены уравнения горизонтальных и вертикальных асимптот, если они есть);

• наличие наклонных асимптот.

II. Исследование функции с помощью первой производной на экстремумы и участки монотонности. Граничными точками интервалов монотонности функции могут быть только концы интервалов области её определения, точки разрыва, критические точки первого рода.

3. Исследование функции с помощью второй производной на выпуклость и точки перегиба. Граничными точками интервалов выпуклости графика функции могут быть только концы интервалов области её определения, точки разрыва, критические точки второго рода.

После первого этапа исследования полезно построить примерный график, который уточняется в результате второго и третьего этапов.

87