8.5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

8.5.1. Направление выпуклости графика функции.

Опр.8.5.1. График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз, если он расположен не ниже любой касательной, проведённой на этом интервале.

Опр.8.5.2. График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вверх, если он расположен не выше любой касательной, проведённой на этом интервале.

Теор.8.5.1. (Достаточное условие выпуклости графика функции). Если функция имеет на интервале вторую производную, и () для , то её график имеет на этом интервале выпуклость, направленную вниз (вверх).

Док-во. Пусть, для определённости, на . Пусть с - произвольная точка , докажем, что график функции лежит выше касательной, проведённой к нему в точке . Уравнение касательной: ( - текущая точка касательной).

По формуле Тейлора . Вычитая из этого равенства предыдущее, получим на , т.е. точка графика функции действительно лежит выше точки графика касательной.

Аналогично рассматривается случай на .

8.5.2. Определение точки перегиба. Точка называется точкой перегиба графика функции , если в этой точке график имеет касательную, и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет разные направления выпуклости по разные стороны от точки .

Из этого определения следует, что в точке перегиба график пересекает касательную, так как по одну сторону от точки перегиба график лежит под касательной, по другую - над ней.

8.5.3. Необходимое условие точки перегиба. Пусть - точка перегиба графика функции , и пусть в точке существует непрерывная в этой точке вторая производная . Тогда .

Док-во от противного. Предположим, что , для определённости . Тогда, в силу непрерывности в точке , в некоторой окрестности точки ; следовательно, в любой точке этой окрестности график функции располагается выше касательной, что противоречит предположению о том, что - точка перегиба .

Таким образом, если - точка перегиба графика функции , и , то . Однако точкой перегиба может быть также точка , в которой не существует; пример - функция имеет перегиб в точке (0,0), в тоже время в точке 0 эта функция не имеет не только второй, но и первой производной. Поэтому введём термин, который выделяет такие точки х области определения функции , что точка может быть точкой перегиба графика этой функции:

Опр.8.5.3.1. Точка называется критической точкой второго рода, если 1. непрерывна в некоторой окрестности ; 2. существует (конечная или бесконечная) производная функции в точке ; 3. дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки ; 4. вторая производная этой функции в точке равна нулю или не существует.

8.5.4. Достаточное условие точки перегиба. Теорема. Пусть - критическая точка второго рода функции и пусть функция имеет вторую производную в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда если в пределах этой окрестности имеет разные знаки по разные стороны от точки , то график функции имеет перегиб в точке .

Док-во непосредственно следует из определения точки перегиба: так как вторая производная функции имеет разные знаки по разные стороны от точки , график функции имеет разные направления выпуклости по разные стороны от точки , т.е. это точка перегиба.

Как пример полученных правил определения участков выпуклости и точек перегиба продолжим исследование первой из функций, рассмотренных в разделе 8.4: для функции мы получили . Находим вторую производную:

Решая уравнение , находим критические точки второго рода: , ; ; третья критическая точка - .

Как и при исследовании функции на монотонность и точки экстремума, составим таблицу

		0	+	0		0	+
		точка перегиба		точка перегиба		точка перегиба

Результаты изображены на графике справа.

Может, однако, оказаться, что в точке равны нулю и первая, и вторая, и ещё ряд производных. Обобщим правило раздела 8.4.3. Третий достаточный признак экстремума (в стационарной точке, по старшим производным): пусть функция имеет в точке все производные вплоть до n-го порядка, причём . Тогда, еслиn (порядок первой отличной от нуля производной) нечётно, то - точка перегиба графика функции ; если n чётно, то при - точка минимума, при - точка максимума.

Док-во этого правила дать самостоятельно, доработав доказательство раздела 8.4.3.