4.4.6. Арифметические действия с пределами.
Теорема
4.4.10. Пусть
функции f(x),
g(x)
имеют предел при хa,
С=const.
Тогда имеют пределы функции С f(x),
f(x)g(x),
f(x)g(x),
( если 
),
и
4.4.10.1.
;
4.4.10.2.
;
4.4.10.3.
;
4.4.10.4.
.
Док-во
основано на
теор. 4.4.9 о
связи функции с её пределом. Пусть
,
f(x)=b1+(х),
g(x)=b2+(х),
где (х),
(х)
- БМ. Тогда:
4.4.10.1.
Сf(x)=Сb1+С(х);
С(х)
- БМ по теор.
4.4.7
.
4.4.10.2.
;
(х)(х)
- БМ
.
4.4.10.3.
.
Выражение в квадратных скобках - БМ
(теор. 4.4.3,
4.4.7, 4.4.8) 
.
4.4.10.4.
Оценим
:
.
В числителе стоит БМ, функция
-
ограничена при 
(почему?) 
.
С
двумя функциями можно произвести ещё
следующие действия: возвести f(x)
в степень g(x)
и взять их суперпозицию. Для степени
f(x)g(x)
оказывается, что если существуют конечные
,
,
то существует
,
это следствие непрерывности показательной
и логарифмической функций; и этот вопрос
будет рассмотрен ниже. Для суперпозиции
функций оказывается, что существование
пределов внешней и внутренней функций
недостаточно для существования предела
сложной функции. Более точно, еслих=g(t)
имеет предел а
при t
t0,
функция y=f(x)
имеет предел при x
а, то
может не существовать. Пример: пусть
.
Очевидно, 
.
Пусть
.
.
Для последовательности точек
;
если выбрать последовательность
,
не попадающую в эти точки, то
.
Две последовательности дают разные
пределы
не существует. Дальше мы увидим, что
существование предела сложной функции
обеспечивает непрерывность внешней
функции.
4.4.7. Замечательные пределы.
4
.4.7.1.
Первый замечательный предел.
Так принято называть 
.
Докажем, что он равен единице. 1. Докажем,
что sin|
x
|.|
x
| (достаточно доказать это при х>0).
Рассмотрим круг радиуса 1 с центром в
точке О.
В качестве переменной х
будем брать центральный угол, отсчитываемый
в радианах от радиуса ОА.
Тогда длина дуги АВ
=х,
длина отрезка ВD
=sin
х,
sin
х<
х
(при х
0;
перпендикуляр - кратчайшее расстояние
от точки до прямой). 2. Сравним площади
треугольников OBА,
OCA
и сектора OBA:
S(тр.OBА)<S(сек.OBA)<S(тр.OCA).
Выразим эти площади:
(CA=tg
x).
Делим это выражение на
:
.
Мы получили эти неравенства в предположении
х>0,
но вследствие четности входящих в них
выражений они верны при любом знаке х.
3. Переворачиваем эти неравенства:
.
cos
x1
при х0,
предел правой части тоже равен 1, по
теор. 3.4.5 о
пределе промежуточной функции 
.
Следствия:
.
4.4.7.2.
Второй замечательный предел.
Изучая пределы последовательностей,
мы доказали, что 
.
Распространим это доказательство на
случай действительной переменной,
докажем, что 
.
Пусть n=E(x),
тогда n
x
<n+1.
Если x
+,
то и n,
поэтому можем считать n
>1. Из неравенства 
вследствие монотонного возрастания
степенной функции с аргументом и степенью
>1, получим 
.
Предел правого члена при n
равен числу е,
предел левого 
тоже равен числу е.
По теор. 4.4.6
о пределе
промежуточной функции 
,
и он тоже равен числу е.
Далее, 
,
и снова применяя теор.
4.4.6 о пределе
промежуточной функции, получаем, что 
существует и равен числу е.
Пусть
теперь x
-.
Введём новую переменную y=-x-1,тогда
x=-y-1,
и y+
при x
-.
.
Доказано, что односторонние пределы
при x
существуют и равны(по
теор. 4.4.1)
.
4.4.7.2.1.
Эквивалентная форма второго замечательного
предела: 
(сводится к предыдущему случаю заменой
).
4.4.7.3. Следствия из замечательных пределов. Рассмотрим еще несколько важных пределов.
4.4.7.3.1.
.
Док-во:
.
4.4.7.3.2.
.Док-во:
.
(Здесь мы пользуемся непрерывностью
функции 
.)
Следствие: 4.4.7.3.2.1.
.
4.4.7.3.3.
.
Док-во:
заменим переменную 
.
Следствие:
4.4.7.3.3.1.
.
4.4.7.3.4.
.
Док-во:
заменим переменную 
.
4.4.7.3.5.
4.4.7.3.6.
