4.3.2. Свойства сходящейся последовательности.

Сформулируем и докажем ряд свойств сходящейся последовательности (т.е. последовательности, имеющей предел).

4.3.2.1. Если последовательность постоянна (т.е. а_n=const=C для n), то она имеет предел, и этот предел равен числу С.

Док-во. Неравенство | а_n-C |=0< выполняется для n,, т.е. выполняются условия определения предела.

4.3.2.2. Последовательность может иметь только один предел.

Док-во. От противного: предположим, что последовательность имеет два предела: и . Предположим для определённости, что b>a. Возьмём в качестве  любое число, меньшее, чем (b-a)/2. Так как , то, по определению предела последовательности, N₁: n> N₁ a-<a_n < a+<a+(b-a)/2=(a+b)/2. Так как , то N₂: n> N₂ (a+b)/2= b-(b-a)/2<b-<a_n < b+. Возьмём N=max{ N₁, N₂}. Тогда при n> N одновременно должны выполняться неравенства a_n < (a+b)/2 и a_n > (a+b)/2, что невозможно.

4.3.2.3. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Док-во. Пусть . Возьмём =1. N: n> N a-1<a_n < a+1. Итак, все члены последовательности, начиная с N+1, ограничены снизу числом a-1, сверху - числом a+1. Вне окрестности U₁(a) точки a может лежать не более N членов. Возьмём в качестве нижней границы число М₁=min{a₁,a₂,a₃,…,a_N,a-1}, в качестве верхней границы число М₂=max{a₁,a₂,a₃,…,a_N,a+1}. Тогда М₁a_n М₂, т.е. последовательность действительно ограничена.

Обратное утверждение неверно. Последовательность ограничена: 1a_n<2, но предела не имеет (подпоследовательность членов с нечётными индексами сходится к числу 1, с чётными - к числу 2, последовательность в целом предела не имеет). Однако если мы дополнительно потребуем, чтобы последовательность была монотонной, то существование предела будет обеспечено:

4.3.2.4. Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится (т.е. имеет предел).

4.3.2.5. Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится.

Док-во. Докажем утверждение 4.3.2.4. (4.3.2.5 доказывается аналогично). Так как множество чисел ограничено сверху, оно имеет точную верхнюю грань . По свойствам точной верхней грани 1. a_n a; 2. для >0 существует элемент множества a_N такой, что a_N>a-. Если n> N, то a-< a_N a_n(вследствие монотонного возрастания) a<a+. Итак, для >0 мы нашли такое N, что при n> N имеет место a-<a_n<a+, т.е. доказали, что .

Приведём без доказательства ещё один факт, касающийся ограниченных последовательностей:

4.3.2.6. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Опр. 4.3.3. Последовательность называется фундаментальной, если она удовлетворяет следующему условию: для >0 существует число N такое, что для любых n₁, n₂> N выполняется неравенство | a_n1 - a_n2 |<.

4.3.2.7. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Док-во. Необходимость. Пусть последовательность сходится, и её предел равен a. Возьмём >0. N: n> N | a-a_n |<. Возьмём любые n₁, n₂> N. Тогда и | a-a_n1 |<, и

| a-a_n2 |<. Оценим | a_n1-a_n2 |: | a_n1-a_n2 |=| a_n1-a+a-a_n2 |=| (a_n1-a)-(a _n2-a) | |a_n1-a | +

+ |a _n2-a |<+=  последовательность фундаментальна.

Достаточность строго доказывать не будем, приведём идею доказательства. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена (доказывается аналогично свойству 4.3.2.3), следовательно из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу a. Далее показывается, что это число будет пределом всей последовательности .

Далее будет сформулирован ряд свойств, касающихся арифметических действий с последовательностями и пределами. Эти свойства легко доказываются с применением бесконечно малых величин; мы докажем эти свойства позже, когда будем изучать пределы функций. Для функций также будет доказан ряд других свойств, справедливых и для последовательностей (теоремы о сохранении знака предела, о переходе к пределу в неравенстве и т.д.; см. пункт 4.4.4. Свойства функций, имеющих предел). Если даны последовательности ,, то символом будем обозначать последовательность, получающуюся из умножением всех её членов на постоянную величину С=const. Символами будем обозначать последовательности, получающиеся из ,, соответственно, почленным сложением, умножением, делением исходных последовательностей. Тогда:

4.3.2.8. Если последовательность сходится, то сходится последовательность , и

=С (постоянный множитель можно выносить за знак предела);

4.3.2.9. Если последовательности , сходятся, то сходятся и последовательности , и

4.3.2.10. (предел суммы последовательностей равен сумме пределов);

4.3.2.11. (предел произведения последовательностей равен произведению пределов);

4.3.2.12. (предел частного последовательностей равен частному их пределов (при условии, что предел знаменателя отличен от 0)).