4.2.1. Определение гиперболических функций.

Опр. 4.2.1. Гиперболическими называются функции

- синус гиперболический; - косинус гиперболический;

- тангенс гиперболический;

- котангенс гиперболический.

Графики гиперболических функций:

4.2.2. Соотношения между гиперболическими функциями.

Исходя из определения гиперболических функций можно получить различные соотношения между этими функциями, схожие с соответствующими соотношениями между тригонометрическими функциями, или, в некоторых случаях, отличающиеся знаком перед некоторыми слагаемыми. Так, прямой подстановкой проверяется равенство (основное гиперболическое тождество, играющее в теории гиперболических функций ту же роль, какую в тригонометрии играет основное тригонометрическое тождество ).

Прямой проверкой или из основного гиперболического тождества можно получить аналог любой тригонометрической формулы, например

sh 2x = 2 shx chx

и т.д. Получать эти соотношения можно также руководствуясь мнемоническим правилом (оно доказывается в комплексном анализе): вместо cos x пишется ch x, а вместо sin x пишется ish x, где i - мнимая единица ( i= i= -1).

4.2.3. Обратные гиперболические функции.

Обратные гиперболические функции определяются как функции, обратные соответствующим гиперболическим функциям. например:

если y = Ar sh x, то x = sh y, где : x  R , y  R.

Любую обратную гиперболическую функцию можно выразить через логарифм натуральный. Так, решая уравнение относительно y с помощью подстановки z = e ^x, получим для z квадратное уравнение , при решении которого надо взять положительный корень , и окончательно . Для остальных функций так же можно получить

Справа и ниже на рисунках приведены графики прямых и обратных гиперболических функций.

4.3. Последовательность и её предел.

4.3.1. Определение последовательности и её предела.

Опр. 4.3.1. Последовательностью называется любой счётный набор действительных чисел а₁, а₂, а₃,…, а_n,….

Примеры:

1). 1, 1, 1,…,1,…; аn=1, nN;	3). ; nN;
2). ; аn=, nN;	4).

Обозначать последовательность мы будем либо перечислением её членов, как в приведённых примерах, либо более краткой записью , либо просто . Так как множество счётно, его члены могут быть пронумерованы, нижний индекс как раз и обозначает номер члена последовательности. В терминах функциональной зависимости последовательность можно определить как функцию натурального аргумента n, поэтому для последовательности имеют смысл введённые выше опр.4.1.3 -4.1.11, описывающие её свойства.

Далее символом N будет обозначаться не множество натуральных чисел, а некоторый элемент этого множества, т.е. просто некоторое натуральное число.

Опр. 4.3.2. Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа  существует такое натуральное число N (зависящее от ), что для членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство | a_n - a |<.

Обозначения: ; ; при .

Если при , то говорят также, что последовательность сходится к числу а.

Краткая форма записи определения: .

Неравенство |a_n - a|< эквивалентно двустороннему неравенству -< a_n - a < или a-< a_n <a+. Таким образом, смысл неравенства | a_n - a |< заключается в том, что для >0 мы можем найти такое N, что все точки a_n с номерами индексов n>N лежат внутри интервала U_(a) =

(a-,a+), т.е. вне этого интервала лежит не более чем конечное число точек последовательности. Докажем, например, что последовательность при сходится к двум. Возьмём >0. Требуется доказать, что существует такое N=N(), что при n>N выполняется неравенство |a_n-a|<, т.е. . Таким образом, если в качестве N=N() мы возьмём N()= (где Е(х)-определённая выше функция - целая часть числа х), то при n>N выполняется неравенство , что и требовалось. Расположение нескольких первых членов последовательности на числовой оси приведено на рисунке снизу. Сходимость последовательности к числу 2 выражается в том, что члены последовательности сгущаются около точких=2.