3. Действительные числа.

3.1. Аксиомы действительных чисел.

Множество R={x,y,z,…} действительных чисел - множество мощности континуум, на котором определены две операции (сложение и умножение) и отношение упорядоченности (), удовлетворяющие аксиомам

I.1. x+y=y+x;

I.2. (x+y)+z=x+(y+z);

I.3. Существует такой элемент 0R, что 0+х=х для хR;

I.4. Для каждого элемента хR существует такой элемент - х, что х+(- х)=0;

II.1. xy=yx;

II.2. (xy)z=x(yz);

II.3. Существует такой элемент 1R, что 1х=х для хR;

II.4. Для каждого элемента х0, х R существует такой элемент х^-1R, что х х^-1=1;

III.1. x(y+z)=xy+xz;

IV.1. Отношение {()( y  x)} эквивалентно отношению х=у;

IV.2. Для любых двух элементов хR, уR или ху, или ух;

IV.3. Из иyz следует хz;

IV.4. Из ху следует х+ z у+ z для любых х,у, z R;

IV.5. Из 0 х и 0 у следует 0 ху.

Отношение записывается также в формеух. Отношение {()( xy)} записывается в форме х<у.

V. Аксиома непрерывности: для любых элементов хR, уR таких, что х < у, существует элемент z R, такой что х< z < у.

VI. Аксиома Архимеда: для любых элементов хR, уR таких, что 0<х, 0<у, существует такое натуральное число n, что у nх;

VII. Аксиома о вложенных отрезках: если {[a_n, b_n]} - счётная последовательность отрезков, таких что a_n a_n+1 и b_n+1 b_n при n, то пересечение этой последовательности непусто, т.е.  хR: х[a_n, b_n] для n.

3.2. Некоторые множества на числовой оси.

Определения.

3.2.1. Для любой пары элементов aR, bR такой, что a<b, множество действительных чисел х, удовлетворяющей условию а<х<b, называется открытым промежутком, или интервалом с началом а и концом b и обозначается (a,b) (или ] a ,b[).

3.2.2. Множество действительных чисел х, удовлетворяющей условию ахb, называется замкнутым промежутком, или отрезком и обозначается [a,b]

3.2.3. Определения полуоткрытых промежутков: (a,b]={x| а<хb}; [a,b)={x| ах<b}.

3.2.4. Пусть R, >0. -окрестностью числа (точки) х₀ называется множество.

.

3.2.5. Проколотой -окрестностью числа (точки) х₀ называется множество .

Пусть Х – произвольное множество действительных чисел.

3.2.6. Точка х₀ называется предельной точкой множества Х, если в любой -окрестности точки х₀ имеются элементы множества Х, отличные от х₀.

Предельная точка множества может принадлежать этому множеству, а может не принадлежать ему. Так, точка х₀ = 1 является предельной и для отрезка [0, 1], и для интервала (0, 1).

3.3. Несобственные точки числовой прямой.

Дополним множество вещественных чисел тремя новыми объектами (-, +, ), которые определим через систему их окрестностей.

Определения.

3.3.1. Несобственной точкой - будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

Для уR выполняется -<у.

3.3.2. Несобственной точкой + будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

Для уR выполняется у<+.

3.3.3. Пусть К>0. Несобственной точкой  будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

3.4. Границы числовых множеств.

Пусть Х={x|xR} - некоторое подмножество множества действительных чисел.

Определения.

3.4.1. Если существует число МR такое, что для хХ выполняется неравенство х<М, то множество Х называется ограниченным сверху (числом М). Число М называется верхней границей множества Х.

3.4.2. Если существует число mR такое, что для хХ выполняется неравенство х>m, то множество Х называется ограниченным снизу (числом m). Число m называется нижней границей множества Х.

3.4.3. Если существует число МR такое, что для хХ выполняется неравенство |х|<М, то множество Х называется ограниченным.

Теорема 3.4.1. Множество ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено сверху и снизу.

Если множество Х ограничено сверху, то множество его верхних границ бесконечно (если число М - верхняя граница, то верхними границами будут числа М+1, М+2 и т.д.). Обозначим У множество верхних границ множества Х. Множество У ограничено снизу (любым элементом множества Х).

Возможны два случая: либо множество Х имеет максимальный элемент (например, если

Х – отрезок [0, 1], то максимальный элемент равен 1), в этом случае множество верхних границ не имеет минимального элемента; либо множество Х не имеет максимального элемента (например, если Х = (0, 1)), в этом случае множество верхних границ имеет минимальный элемент.

Определение 3.4.4. Точной верхней границей, или верхней гранью, множества Х, ограниченного сверху, называется максимальный элемент этого множества, если он существует, и минимальный элемент множества верхних границ, если множество Х не имеет максимального элемента.

Для обозначения применяются: символы sup X или sup{x}.

Свойства верхней грани:

Пусть М^*= sup X - верхняя грань множества Х. Тогда

3.4.2.Для хХ выполняется неравенство х М^*.

3.4.3. Любое число, меньшее М^*, не будет верхней границей множества Х, т.е. для >0 xX такой, что х> М^*-.

Аналогичным образом, если множество Х ограничено снизу, то множество его нижних границ бесконечно. Обозначим Z множество нижних границ множества Х. Множество Z ограничено сверху (любым элементом множества Х).

Определение 3.4.5. Точной нижней границей, или нижней гранью, множества Х, ограниченного снизу, называется минимальный элемент этого множества, если он существует, и максимальный элемент множества нижних границ, если множество Х не имеет минимального элемента.

Для обозначения применяются: символы inf X или inf{x}.

Свойства нижней грани:

Пусть М_*= inf X - нижняя грань множества Х. Тогда

3.4.2. Для хХ выполняется неравенство х  М_*.

3.4.3. Любое число, большее М_*, не будет нижней границей множества Х, т.е. для >0 xX такой, что х М_*+.