2.3.2. Достаточность и необходимость; существование и единственность.

Переведём формулировку теоремы хХ (А(х)В(х)) на термины "необходимо", "достаточно": если для элемента х множества Х истинно утверждение А(х), то истинно и утверждение В(х). Таким образом, свойство В(х) необходимо для выполнения А(х) (если ложно В(х), то не может быть истинно А(х); необходимо целое число делится на 5 без остатка, если его десятичная запись оканчивается нулём). С другой стороны, условие А(х) достаточно для того, чтобы имело место В(х) (равенство последней цифры десятичной записи целого числа нулю достаточно, чтобы это число делилось на 5 без остатка).

В математике часто встречаются теоремы, для которых утверждения А(х) и В(х) имеют совпадающие области истинности и эквивалентны на этих областях: хХ (А(х) В(х) ("для истинности А(х) необходима и достаточна истинность В(х)"; " А(х) истинно тогда и только тогда, когда истиино В(х)"). Как следует из формулы 12. (АВ)  (АВ)(ВА) таблицы "Свойства логических операций", в этом случае одновременно должны быть справедливы и прямая, и обратная теоремы ("треугольник прямоугольный тогда и только тогда, когда квадрат какой-либо стороны равен сумме квадратов остальных сторон"). Закономерен вопрос: зачем вводить два свойства (термина, определения) для описания одной и той же сущности? Ответ заключён в приведённом примере: каждое из свойств может лучше описывать ту или иную сторону этой сущности (одно свойство относится к углам, другое - к сторонам).

Особый класс математических теорем образуют теоремы существования. Их структура - хХ А(х) (на множестве Х существует элемент х, для которого верно утверждение А(х)). Пример: если непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на [a,b] существует (хотя бы один) корень уравнения f(x)=0 (приведённая на иллюстрации функция имеет три корня). В некоторых случаях принципиальна единственность такого элемента х. Так, при численном решении уравнения f(x)=0 многие итерационные процессы перестают работать, если на [a,b] имеется более одного корня уравнения. Существование единственного корня обеспечит такая формулировка теоремы: "если непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) монотонна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на [a,b] существует единственный корень уравнения f(x)=0".

Структура теорем существования и единственности:!хХ А(х).

2.3.3. Доказательство от противного; метод математической индукции.

Здесь мы рассмотрит два часто применяющихся метода доказательства теорем: доказательство от противного и метод математической индукции.

2.3.3.1. Доказательство от противного основано на доказанной нами эквивалентности (АВ)( ВА) (эквивалентны теоремы прямая и противоположная обратной). Пример - известное доказательство того факта, что не может быть рациональным числом (предположим, что=p/q, где p/q - несократимая дробьp²=2 q² p - чётно, p=2т 4m²=2 q²

q²=2m² q - чётно - противоречие с предположением о несократимости дроби). Таким образом, для доказательства хХ (А(х)В(х)) мы предполагаем, что истинно утверждение В, доказываем хХ (В(х)А(х)), и противоречие между А(х) и А(х) приводит к выводу В= В.

2.3.3.2. Метод математической индукции часто применяется, если Х=N (или Х - бесконечное подмножество множества N). Доказательство утверждения nN (А(n)В(n)) проводится в два этапа: 1. Доказывается утверждение А(1); 2. Доказывается n1 А(n)А(n+1). Рассмотрим простой пример: доказать, что для любого натурального числа n сумма квадратов целых чисел от 1 до n равна n(n+1)(2n+1)/6:

.

При n =1 равенство справедливо: .

Пусть равенство справедливо для n, докажем что оно справедливо для n+1: Формула доказана.