Свойства логических операций.

1. (А)  (А).	7. ((АВ)С)  (А(ВС)).
2. ( (АВ))  (АВ).	8. ((АВ)С)  ((АС)(ВС)).
3. ( (АВ)) (АВ).	9. ((АВ)С)  ((АС)(ВС)).
4. (АВ)  (ВА).	10. (АВ)  ( АВ).
5.(АВ)  (ВА).	11. (АВ)  ( ВА).
6. ((АВ)С)  (А(ВС)).	12. (АВ)  (АВ)(ВА).

Док-во. Для доказательства любой из приведённых формул требуется построить таблицы истинности для частей формулы, стоящих слева и справа от символа эквивалентности , для всех значений истинности входящих в формулу высказываний, и показать, что они совпадают. Докажем, например, формулу 8. Таблица истинности:

А	В	С	АВ		(АВ)С		АС	ВС		(АС)(ВС)
0	0	0	0		0		0	0		0
0	0	1	0		0		0	0		0
0	1	0	1		0		0	0		0
0	1	1	1		1		0	1		1
1	0	0	1		0		0	0		0
1	0	1	1		1		1	0		1
1	1	0	1		0		0	0		0
1	1	1	1		1		1	1		1

Значения истинности для левой и правой частей формулы совпадают при любых истинностях входных высказываний, следовательно, левая и правая части формулы действительно эквивалентны. (Отметим аналогию между этой формулой и формулой 10. из раздела "1. Элементы терии множеств").

В дальнейшем мы будем отождествлять высказывание и его значение истинности, т.е. считать, что А = 1, если А - истинно, и А = 0, если А - ложно.

2.2. Кванторы.

В этом разделе мы расширим понятие термина "высказывание", чтобы ввести в рассмотрение утверждения вида х>7. Строго говоря, это утверждение не является высказыванием в смысле опр.2.1.1, так как мы не можем сказать, истинно оно или ложно (оно истинно, если, например, x[12,15] и ложно, если x[ 2, 5]). Тем не менее, утверждения, содержащие переменные x, y, z,… с областями возможных значений X, Y, Z,…, обладающие тем свойством, что для каждого набора переменных x X, y Y, z Z,…истинность утверждения может быть установлена, в дальнейшем тоже будем называть высказываниями. Зависимость высказываний А, В, … от переменной x будем обозначать как А(х), В(х),… x X. Подмножество Х(А)Х множества Х такое, что для любого хХ(А) высказывание А(х) истинно, будем называть областью истинности высказывания А (так, для высказывания х>-2, X=[-5, 5] будет Х(А) = (-2, 5]).

Кванторы - логические операции, с помощью которых по некоторому высказыванию А(х) получают новые высказывания, характеризующие область истинности высказывания А(х).

Опр. 2.2.1. Квантором всеобщности (обозначение - ) высказывания А(х), x X, называется логическая операция, имеющая значение "истина", если высказывание А(х) истинно для любого элемента x X, и значение "ложь" в противоположном случае (т.е. в случае, когда хотя бы для одного x X высказывание А(х) ложно).

Формула хХ, А(х) читается как "для любого х, принадлежащего Х, справедливо А(х)"; "все х из Х удовлетворяют условию А(х)" и т.д. Формальное определение квантора всеобщности:

Примеры: высказывание (х[-2,4], x²>-2) - истинно, высказывание (х[-2,4], x²>16) - ложно, высказывание (хN, x²>0) - истинно, высказывание (хR, x²>0) - ложно.

Опр. 2.2.2. Квантором существования (обозначение -) высказывания А(х), x X, называется логическая операция, имеющая значение "истина", если высказывание А(х) истинно хотя бы для одного элемента x X, и значение "ложь" в противоположном случае (т.е. в случае, когда высказывание А(х) ложно для всех x X).

Формула хХ, А(х) читается как "существует (найдётся) (хотя бы один) элемент х, принадлежащий Х, для которого справедливо А(х)". Формальное определение квантора существования:

Примеры: высказывание (х[-2,4], x² > 20) - ложно, высказывание (х[-2,4], x² > 10) - истинно, высказывание (хN, x² = 0) - ложно, высказывание (хR, x² = 0) - истинно.

Опр. 2.2.3. Квантором существования и единственности (обозначение -!) высказывания А(х), x X, называется логическая операция, имеющая значение "истина", если на множестве X существует элемент x, для которого высказывание А(х) истинно, и такой элемент единственен, и значение "ложь" в противоположном случае (т.е. в случае, когда высказывание А(х) ложно для любого элемента x X либо А(х) истинно более чем для одного элемента x X).

Формула ! хХ, А(х) читается как "существует единственный элемент х, принадлежащий Х, для которого справедливо А(х)”. Формальное определение квантора существования и единственности:

Примеры: высказывание (! х[-2,4], x²  16) - истинно, высказывание (!х[-2,4], x² > 15) - ложно, высказывание (!хN, x²  1) - истинно, высказывание (!хR, x²  1) - ложно.

Применение кванторов позволяет компактно записывать формулировки теорем, определений и других математических утверждений. Например, теорема о существовании корней квадратного уравнения запишется так:

.

При проведении математических рассуждений (доказательство теорем от противного, формулировки противоположных теорем и т.д.) часто приходится строить отрицания некоторых утверждений. Рассмотрим простой пример. Пусть дано определение: "Группа называется хорошей, если любой ()студент этой группы - хороший", требуется построить логически следующее из этого определения новое - определение плохой группы. Правильный ответ: "Группа называется плохой, если хотя бы один ()студент этой группы - плохой". Этот пример подсказывает следующие правила взаимодействия кванторов существования и единственности с операцией отрицания:

1. (хХ, А(х))хХ, А(х);

2. (хХ, А(х)) хХ, А(х).

Док-во. Докажем первую эквивалентность. Если истинно высказывание (хХ, А(х)) (не для хХ истинно А(х)), то хХ, для которого А(х) ложно, т.е. истинно А(х). Импликация (хХ, А(х)) хХ, А(х) доказана. Если истинно высказывание хХ, А(х) (существует хХ, для которого А(х) ложно), то не для любого хХ истинно А(х), т.е.(хХ, А(х)). Импликация хХ,А(х)  (хХ, А(х))доказана. По формуле 12 таблицы Свойства логических операций из доказанных импликаций следует эквивалентность левой и правой частей первой формулы.

Аналогично доказывается вторая формула. Формулы 1 и 2 имеют простой смысл. Именно, если мы хотим опровергнуть утверждение хХ, А(х) (для любого х из Х верно А(х)), достаточно найти хотя бы один х, для которого А(х) неверно: хХ, А(х). Если опровергается утверждение хХ, А(х) "существует х, для которого верно А(х)", необходимо доказать, что А(х) неверно для любого х: хХ, А(х).

Задание. Самостоятельно доказать формулу 2.

Если высказывание А(х) содержит несколько кванторов, то операция отрицания меняет каждый из них. Так, отрицание утверждения "число b есть предел функции f(x) в точке x=a…."

запишется так:

.