1.3.2. Множества мощности континуум.

1. Множество мощности континуум несчётно.

Применим метод доказательства от противного. Множество мощности континуум - множество, равномощное множеству точек любого отрезка. Возьмём отрезок [0,1]. Каждой точке х[0,1] сопоставим представление числа х в виде бесконечной десятичной дроби вида х=₀, ₁₂_3…..; это представление единственно, если договориться, что в случаях возможной неоднозначности (число 0,5, например, можно представить и в виде 0,5000000…., и в виде 0,4999999….) применяется представление с периодом, равным нулю. Предположим, что множество точек, а следовательно, и множество таких дробей счётно, т.е. они могут быть пронумерованы, в качестве номера используем верхний индекс:

х(1)=0(1), 1(1)2(1)3(1)…….; х(2)=0(2), 1(2)2(2)3(2)…….; х(3)=0(3), 1(3)2(3)3(3)…….; ……………………………...; х(n)=0(n), 1(n)2(n)3(n)…….; ……………………………….

Построим точку х=0, 123…..[0,1], заведомо не принадлежащую этой последовательности. Возьмём 0=0. В качестве 1 возьмём любую цифру, неравную 1(1) и 9; в качестве 2 - любую цифру, неравную 2(2) и 9 и т.д.; вообще в качестве n возьмём любую цифру, неравную n(n) и 9.

Построенная точка не может входить в последовательность х⁽¹⁾, х⁽²⁾, х⁽³⁾,…, х⁽ⁿ⁾,…(х х⁽ⁿ⁾,т.к. _(n)_n⁽ⁿ⁾)- получено противоречие с предположением о счётности точек отрезка.

2. Если А - бесконечное множество, В - конечное или счётное множество, то -множество, равномощное А.

Выберем в А счётное подмножество С и пусть D=А\С. Тогда А= DС; АВ= D (СВ). С и В - счётные множества, следовательно, СВ -также счётное множество, т.е. существует взаимно-однозначное соответствие между элементами С и СВ. Применяя это соответствие и тождественное соответствие между элементами множества D, получим взаимно-однозначное соответствие между элементами DС и D (СВ), что означает равномощность множеств А и АВ.

Следует отметить, что из этого свойства непосредственно следует равномощность множеств точек отрезка и интервала.

Задание. Самостоятельно доказать следующие утверждения:

3. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуум.

4. Число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным. Доказать, что множество трансцендентных чисел имеет мощность континуум.

1.3.3. Множества высших мощностей.

Опр. 1.3.6. Если множества А и В неравномощны, но одно из них, например, А, равномощно с некоторым подмножеством множества В, то множество В называется множеством большей мощности, чем А.

Минимальной мощностью обладает пустое множество. Счётное множество имеет большую мощность, чем любое конечное, континуум - большую мощность, чем счётное. Существуют ли множества большей мощности? Следующая теорема показывает, что для любого множества можно построить более мощное множество.

Теор. 1.3.2. Мощность множества всех подмножеств непустого множества А больше, чем мощность исходного множества А.

Док-во. Мощность множества В подмножеств любого множества А не меньше, чем мощность А (В содержит подмножества, состоящие из одного элемента, мощность множества B₁={B_1,a| B_1,a={a}} таких подмножеств равна мощности множества А в силу взаимно-однозначного соответствия а B_1,a). Следовательно, мощность В больше или равна мощности А. Докажем, что мощность В не может быть равна мощности А. Применим доказательство от противного. Предположим, что существует взаимно-однозначное соответствие между элементами А и В, т.е. каждому элементу хА поставлено в соответствие подмножество А_хА. Возможны два случая: хА_х и хА_х. Элементы х, такие, что хА_х, будем называть элементами первого типа, элементы х, такие, что хА_х, назовём элементами второго типа. Рассмотрим множество С элементов второго типа. В соответствии хА_х множеству СВ соответствует элемент х_СА. Каков тип элемента х_С? х_С не может быть элементом первого типа, так как в этом случае должно быть х_СС, а С состоит из элементов второго типа. х_С не может быть элементом второго типа, так как в этом случае должно быть х_СС, а С содержит все элементы второго типа. Полученное противоречие показывает, взаимно-однозначного соответствия между элементами А и В существовать не может, т.е. мощность В больше мощности А.

Задачи.

Доказать:

1. А\(ВС) = (А\В)\С.	6. D=A(B\C)  (AB)\CD.
2. А=ВС  А\ВС.	7. (A1A2)\(B1B2)  (A1\B1)(A2\B2).
3. А\В=С  А( ВС).	8. .
4. АВ  АВ=А.	9. .
5. АВ  АВ=В.

Привести пример таких множеств, что

1. A  B(A\B).	3. D=A(B\C), но D(AB)\C.
2. A = BC, но A\BC.	4. (A1A2)\(B1B2)  (A1\B1)(A2\B2).