1.3. Мощность множества.

Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов. Для бесконечных множеств такого простого правила сравнения количеств элементов в них нет; чтобы получить возможность описывать количество элементов в бесконечных множествах, введём следующие определения.

Опр. 1.3.1. Между множествами А и В установлено взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу множества А каким-либо образом сопоставлен единственный элемент множества В, при этом каждому элементу множества В сопоставляется единственный элемент множества А.

Опр. 1.3.2. Множества, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие, называются равномощными (имеющими одинаковую мощность, эквивалентными). Равномощность множеств обозначается символом "~": А~В.

Так, для приведённых выше множеств взаимно-однозначное соответствие устанавливается соотношениями -2с, 0ф, 3а, 8х. Однако ценность опр. 1.8 эквивалентности множеств заключается в том, что оно применимо к любым, в том числе бесконечным, множествам. Так, рассмотрим множество N натуральных чисел и множество N2={ 2, 4, 6, …} четных чисел. Взаимно-однозначное соответствие между этими множествами устанавливается соотношениями n2n, следовательно, эти множества равномощны: N~N2. Этот пример показывает, что собственное подмножество может быть равномощным всему множеству; естественно, это может быть только для бесконечных множеств.

Соотношение ~ эквивалентности множеств транзитивно: если А~В, В~С, то А~С. Взаимно-однозначное соответствие между элементами а множества А и с множества С устанавливается по цепочке а вс.

Опр. 1.3.4. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N называется счётным множеством.

Другими словами, множество счётно, если его элементы можно перенумеровать всеми натуральными числами. Счётны множестваN2 чётных натуральных чисел, множество нечётных чисел (соответствие n2n-1), множество всех целых чисел {0,1,2,3,4,…} (соответствие 10, 2-1, 31, 4-2, 52, …; вообще n(n-1)/2 для нечётных n и n-n/2 для чётных n).

Равномощны множества точек любых двух отрезков [a,b] и [c,d] (соответствие можно установить, например, с помощью центрального проектирования; рис. 7). Так же можно доказать равномощность множеств точек любых двух интервалов. Множество точек интервала равномощно множеству точек всей прямой (рис. 8). Сложнее ответить на вопрос, равномощны ли множества точек отрезка и интервала. Положительный ответ на этот вопрос даёт следующая теорема:

Теор. 1.3.1. Если множество А равномощно подмножеству В₁ множества В, а множество В равномощно подмножеству А₁ множества А, то множества А и В равномощны.

Опр. 1.3.5. Множество, эквивалентное множеству точек любого отрезка, называется множеством мощности континуум.

Рассмотрим более подробно свойства счётных множеств и множеств мощности континуум.

1.3.1. Счётные множества.

1. Любое бесконечное подмножество В счётного множества А также счётно.

Элементы В можно перенумеровать в порядке их следования в А; так как В бесконечно, для нумерации будут использованы все натуральные числа.

2. Объединение конечной или счётной совокупности счётных множеств - счётное множество.

Докажем это утверждение сначала для двух счётных множеств А={a₁, a₂, a₃,…} и В={b₁, b₂, b₃,…}. Выпишем все элементы этих множеств в одну строчку a₁, b₁, a₂, b₂, a₃, b₃,… и сопоставим каждому элементу его номер в этой строчке (если Ø, т.е. какой-то элемент входит и в А, и в В, он получает номер только в первый раз, а во второй раз пропускается). В результате будут пронумерованы все элементы множества , что доказывает его счётность. Также доказывается счётность объединения трёх, четырёх и вообще любого конечного числа счётных множеств. В случае счётного числа счётных множеств {A₁, A₂, A₃, A₄, …}способ нумерации может быть, например, таким:

A1={a11, a12, a13, a14,…} A2={a21, a22, a23, a24,…} A3={a31, a32, a33, a34,…} A4={a41, a42, a43, a44,…} …………………………

Нумерация начинается с элемента a11 и продолжается в направлении стрелок, повторяющиеся элементы при этом пропускаются.

3. Множество Q рациональных чисел счётно.

Множество рациональных чисел (чисел вида p/q, где p,q - целые числа, q0) можно представить как объединение счётного числа следующих счётных множеств:

множества Q₁ всех целых чисел n=0,1,2,3,….;

множество Q₂ всех дробей вида n/2, множество Q₃ всех дробей вида n/3,…………….,

множество Q_к всех дробей вида n/к, n=0,1,2,3,…..; следовательно, оно счётно.

Задание. Самостоятельно доказать следующие утверждения:

4. Если А={a_n|nZ} и В={b_n|nZ} - счётные множества, то множество всех пар {(a_n,b_к)|n,кZ} - счётно.

5. Множество всех многочленов (произвольных степеней) с рациональными коэффициентами (a_iQ) счётно.

6. Алгебраическим числом называется число, которое может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Доказать, что множество алгебраических чисел счётно.

7. Множество всех отрезков [a,b] с рациональными концами a, b счётно.

8. Множество взаимно не пересекающихся интервалов (a,b) на оси счётно.

9. Множество точек разрыва монотонной функции счётно.