6.6. Примеры вычисления производной.

Вывод формул производных функций, в которых применяются только арифметические действия, обычно не представляет трудностей:

1.

Эти действия должны выполняться автоматически, с минимальным числом промежуточных этапов. Немного сложнее задачи, в которых участвуют сложные функции:

2.. Здесь в соответствии с выведенной 6.3.5 формулой для производной сложной функции : ,, поэтому .

3. . Здесь: , , поэтому . Интересно, что результат только знаком отличается от производной функции , почему?

4. Если функция включает несколько суперпозиций, правило дифференцирования сложной функции применяется несколько раз:

И здесь все действия должны быть доведены до автоматизма:

5. .

Приведём ещё один приём, которым приходится пользоваться при дифференцировании - логарифмическое дифференцирование. Иногда проще продифференцировать логарифм данной функции, чем саму эту функцию. Это может быть, например, если функция представляет собой произведение большого числа сомножителей, или показательно-степенное выражение. Выведем формулу для производной показательно-степенной функции:

. Логарифмируем это выражение: . Дифференцируем обе части этого равенства по х, учитывая сложную зависимость от х в логарифмах:

.

Окончательно: . Пример:

6.

6.7. Односторонние и бесконечные производные.

В этом разделе будут рассмотрены особые случаи, которые могут встретиться при нахождении производных.

6.7.1. Односторонние производные. Пусть х - правый или левый конец [a,b] отрезка, на котором определена функция. Тогда при вычислении предела отношения в точке а мы можем рассматривать только случай , в точке b - только случай , т.е. искать односторонние пределы. Соответственно, полученные производные называются односторонними производными справа или слева. Графики функции будут иметь в этих случаях односторонние касательные.

Возможно, и во внутренней точке отрезка [a,b] пределы отношения существуют при и при , но не равны между собой. Это означает, что функция не имеет производной в этой точке, однако полученные пределы и в этом случае называются односторонними производными справа и слева; для графика функции существуют только односторонние касательные, сама точка на графике в этом случае называется угловой.

6.7.2. Бесконечные производные. Если предел отношения при равен  (или +, или -), то эти несобственные числа тоже называют производной, и обозначают обычным образом, например . Аналогично определяются односторонние бесконечные производные. Геометрически это означает, что график функции в соответствующей точке имеет касательную, параллельную оси Оу. Возможные сочетания бесконечных односторонних производных приведены на рис. справа.

6.7.3. Примеры несуществования и разрывов производных. Функции у = |x| и не имеют обычной производной в нуле. Для графика функции |x| точка (0,0) является угловой; функция (график справа) в этой точке не имеет даже односторонних производных: если х = 0, то , эта функция рассматривалась в 4.4.1. Предел функции как пример функции, не имеющей предела в нуле (пример 4). Ещё один интересный пример - функция . Её производная при равна и не имеет предела при . В тоже время прямое вычисление производной в точке х = 0 даёт

при . Таким образом, эта функция имеет нулевую производную в точке х = 0, но пределы не существуют, т.е. производная претерпевает в точке х = 0 разрыв второго рода, так же как и предыдущая функция.