6. Дифференцируемость функций.

6.1. Определение производной функции.

6.1.1. Задачи, приводящие к понятию производной.

6.1.1.1. Вычисление скорости неравномерно движущегося тела.Пусть материальная точка неравномерно движется вдоль оси Ох. Известна зависимость пути s(t), пройденного к моменту времени t от времени, требуется найти значение скорости точки в момент t₀. Если мы возьмём любое t₁ t₀и найдём отношение , то будет получено среднее значение скорости на отрезке [t₀, t₁]. Чтобы получить мгновенное значение скорости в момент t₀, мы должны устремить t₁ к t₀, т.е. найти предел , где t= t₁- t₀, s= s(t₁)- s(t₀).

6.1.1.2. Нахождение углового коэффициента касательной к графику функции.

Опр. 6.1.1.2.Касательной к графику функции y=f(x) в точке M₀(x₀,y₀=f(x₀)) называется предельное положение секущей M₀M₁ при M₁ M₀.

Угловой коэффициент секущей равен . Чтобы получить угловой коэффициент касательной, в этом выражении надо перейти к пределу при M₁ M₀, или, что тоже самое, при х₁ х₀. Следовательно, , где . Величины х и у называются, соответственно, приращением аргумента и функции. Таким образом, при решении этих совершенно разных задач, как и множества других задач науки и техники, требуется находить предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Это приводит к определению основного понятия дифференциального исчисления - понятия производной.

6.1.2. Определение производной.

Опр.6.1. Пусть функция y=f(x) определена в точке х и некоторой её окрестности. Придадим значению аргумента х приращение х (положительное или отрицательное, но не выводящее за пределы этой окрестности) и найдем соответствующее приращение функции у=f(x+х)- f(x). Передел отношения приращение функции у к приращению аргумента х при х 0 называется производной функции y=f(x) в точке х.

Производную обозначают разными способами. Наиболее распространённые обозначения - . Чаще мы будем применять первое из этих обозначений. Таким образом, . Операция нахождения производной называется дифференцированием.

6.1.3. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику гладкой функции.

Геометрический смысл производной у'(x₀), как следует из вышеизложенного, - угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке (x₀,y₀=f(x₀)). Не любая функция имеет касательную в каждой точке, так, невозможно построить касательную к графику функции |x| в точке (0,0). Чтобы в точке (x₀,y₀=f(x₀)) существовала касательная, необходимо существование предела , т.е. существование производной. Функции, имеющие производную в каждой точке своей области определения (т.е. функции, графики которых имеют касательную в каждой точке), будем называть гладкими. Применяя известные формулы аналитической геометрии для прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом, получаем: