1) Властивість лінійності перетворення Лапласа. Зображення функцій . T.Якщо , ,а і дійсні сталі то, ;і взагалі

Дов. =

Скористаемося властивістю лінійності інтеграла

Так як властивість лінійності має місце для «n» властивість лінійності мае місце для доданків то одержемо загальне співвідношення.

;

;

2)Перетворення Лапласа. Оригінал та зображення. Теорема про подібність. Т.Нехай оригінал причому диференційована при і також оригінал. Якщо то: ЯКЩО оригінали то .Дов. Розглянемо інтеграл Лапласа для похідної U= t ; ; = Формула для зображення похідної n-го порядку: .; ; або ; Є і інші позначення відносності . Перехід від функції за формулою (1) називається перетворенням Лапласа.Для збіжності невласного інтеграла у формулі (1):а) неперервна на всій осі за винятком хіба що скінченного числа точок розриву 1 роду на кожному інтервалі скінченної довжини.б) ; М і - деякі сталі; ; ; ; Вважають ;Функція яка задовольняє вище згаданим трьом умовам називається оригіналом. Відповідно функція яка визначається формулою (1) називається зображенням .Теорема єдності (без дов) ЯКЩО ДВІ НЕПЕРЕРВНІ ФУНКЦІЇ І мають одне і те саме зображення то ці функції тотожно рівні.Теорема про подібність і ,то ; Дов. ; зробимо заміну змінної інтегрування [ ; ;]

3)Перетворення Лапласа. Оригінал та зображення. Теорема про зсув. Т.Нехай оригінал причому диференційована при і також оригінал. Якщо то: ЯКЩО оригінали то .Дов. Розглянемо інтеграл Лапласа для похідної U= t ; ; = Формула для зображення похідної n-го порядку: .; ; або ; Є і інші позначення відносності . Перехід від функції за формулою (1) називається перетворенням Лапласа.Для збіжності невласного інтеграла у формулі (1):а) неперервна на всій осі за винятком хіба що скінченного числа точок розриву 1 роду на кожному інтервалі скінченної довжини.б) ; М і - деякі сталі; ; ; ; Вважають ;Функція яка задовольняє вище згаданим трьом умовам називається оригіналом. Відповідно функція яка визначається формулою (1) називається зображенням .Теорема єдності (без дов) ЯКЩО ДВІ НЕПЕРЕРВНІ ФУНКЦІЇ І мають одне і те саме зображення то ці функції тотожно рівні. Теорема про зсув:Якщо то ;Дов. ;

4)Перетворення Лапласа. Оригінал та зображення. Теорема про запізнювання. Т.Нехай оригінал причому диференційована при і також оригінал. Якщо то: ЯКЩО оригінали то .Дов. Розглянемо інтеграл Лапласа для похідної U= t ; ; = Формула для зображення похідної n-го порядку: .; ; або ; Є і інші позначення відносності . Перехід від функції за формулою (1) називається перетворенням Лапласа.Для збіжності невласного інтеграла у формулі (1):а) неперервна на всій осі за винятком хіба що скінченного числа точок розриву 1 роду на кожному інтервалі скінченної довжини.б) ; М і - деякі сталі; ; ; ; Вважають ;Функція яка задовольняє вище згаданим трьом умовам називається оригіналом. Відповідно функція яка визначається формулою (1) називається зображенням .Теорема єдності (без дов) ЯКЩО ДВІ НЕПЕРЕРВНІ ФУНКЦІЇ І мають одне і те саме зображення то ці функції тотожно рівні. Теорема про запізнюванняЯкщо і то ;Дов. ; [ ; ; ] [Скористаємося адитивності невласного інтеграла] [ коли отже 1 інтеграл = 0] .

5)Теор про диференціювання оригінала Нехай f(t) – оригінал, пичому f(t) диференційована при і f’(t) також оригінал. Тоді якщо , то , якщо крім того - є оригіналом, то .Дов. розглянемо інтеграл Лапласа для похідної f’(t): =[про інтегруємо частинами ]= . Після ‘n’ кратного застосування цього способу одержимо формулу для зображення похідної ‘n’ го порядку.

6)Теор про диференціювання зображення Нехай , то з теорії ФКЗ відомо, що f(p) є аналітична функція півплощини , тобто має похідні всіх порядків. Тоді похідна ‘n’ го порядку є зображення функції . .Дов. ; за теоремою про диференціювання невласного інтегралу за параметром маємо: . Диференціюючи ‘n’ разів за параметрои р, одержуємо відповідне спріввідношення.