16. Вычисление производной, таблица производных.

Производная – функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции. Физический смысл производной — скорость изменения величины или процесса. Разновидности: производная функции, производная (обобщения), частная производная, производная по направлению.

Вычисление производной – важнейшая операция в дифференциальном исчислении.

17. Правила дифференцирования.

18. Производная параметрически заданной функции.

Если функция f задана параметрически x = φ(t), y = ψ(t), α < t < β, где y = f(x) и функции φ и ψ дифференцируемы, причем φ'(t) ≠ 0, то

19. Производная неявно заданной функции.

Если y = f(x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале ]a, b[, то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения

20. Логарифмическое дифференцирование.

Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием.

21. Производные высших порядков.

Если f '(x) — производная функции f (x), то производная от нее по независимой переменной x, (f '(x))' = f ''(x), называется производной второго порядка. Аналогично определены производные 3-го, 4-го и n-го порядка: f''' (x) = ( f'' (x))' , f (4)(x) = (f''' (x))' , f (n)(x) = (f (n -1)(x))' .

22. Теоремы о дифференцируемых на отрезках функциях. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Теоремы о дифференцируемых на отрезках функциях – это все теоремы вопроса 24, а также теорема Лопиталя: Пусть функции g(x) и h(x) на некотором отрезке [a,b] удовлетворяют условиям теоремы Kоши и обращаются в 0 в точке x=a, т.е. g(a)=h(a)=0, тогда если существует предел отношения g’(x)/h’(x) при x=> a, то существует и 

lim x a  g(x)/h(x)

причем  lim x a  g(x)/h(x)= lim x a  g(x)/h(x).

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке a, то она непрерывна в этой точке.

23. Применение дифференциалов в приближенных вычислениях.

Пусть нам известно значение функции y₀=f(x₀) и ее производной y₀' = f '(x₀) в точке x₀. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δy можно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x₀)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x₀), то f(x) – f(x₀)≈f'(x₀)·Δx. Откуда f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·Δx