Закон сохранения импульса:

Сумма импульсов всех тел замкнутой системы есть величина постоянная.

№8

Движение называется периодическим, если x(t)=x(t+T), где Т – период.

Колебание – это периодическое движение около положения равновесия.

Период Т – это время, за которое совершается одно полное колебание.

Частота – число полных колебаний в единицу времени . Круговая (циклическая частота):

Гармоническими называются колебания, при которых смещение точки от положения равновесия в зависимости от времени изменяется по закону синуса или косинуса. x=A*sin(w₀t+α), где А – амплитуда колебаний (максимальное смещение от положения равновесия) w_o –круговая частота гармонических колебаний, w₀t+α – фаза, α – начальная фаза.

Система, совершающая гармонические колебания, называется классическим гармонически осциллятором или колебательной системой.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях: Отсюда следует что a= - w_o²x. Из последних двух уравнений получаем что х^.. + w_o²x=0 – это есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Если подставить a= - w_o²x во второй закон Ньютона, получим что F=- w_o²xm (это сила под действием которой происходят гармонические колебания), если обозначить w_o²m=k то F=-kx. Сила направлена противоположно смещению, и прямо пропорционально смещению точки от положения равновесия называется – возвращающей силой, а k называется коэффицентом возвращающей силы. Таким свойством обладает сила упругости. Силы другой физической природы которые подчиняются закону F=-kx называются квазиупругими.

Из формулы w_o²m=k и получаем круговую частоту и период этих колебаний:

=

При гармонических колебаниях по закону зависимости кинетической и потенциальной энергии от времени имеют вид:

Полная энергия в процессе гармонических колебаний сохраняется

Ек+U=const

Примером классического гармонического осциллятора является легкая пружина, к которой подвешен груз массой m. Коэффициент вращающей силы k называется коэффициентом жесткости пружины. Из второго закона Ньютона для груза на пружине F=-kx получим уравнение, совпадающее по форме с дифференциальным уравнением гармонических колебаний, значит груз на пружине при отсутствии сил сопротивления среды будет совершать гармонические колебания.

Гармонические колебания можно представить в виде проекции на оси координат вектора, величина которого равна амплитуде А, вращающегося вокруг начала координат с угловой скоростью w_o . На этом представлении основан метод векторных диаграмм сложения гармонических колебаний с одинаковой частотой проходящих по одной оси:

)

Тогда амплитуда результирующих колебаний определяется по теореме косинусов:

Начальная фаза результирующего колебания может быть найдена по формуле:

При сложении однонаправленных колебаний с близкими частотами w₁ и w₂ возникают биения , частота которых w₁ - w_2.

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:

)

имеет вид

Если начальные фазы , то уравнение траектории – прямая y= или y= . Если разность фаз = π\2 то точка движется по эллипсу

Физический маятник – это твердое тело способное совершать колебания вокруг закрепленной оси проходящей через точку О (центр вращения) не совпадающую с центром масс. Колебания явлюятся гармоническими при малых углах отклонения. Момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку О, является возвращающим моментом и выражается соотношением

M=mgdsin ≈ mgd

(где d это расстояние от точки относительно которой тело совершает колебания до центра масс, - угол отклонения)

Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид M=Y*ξ ((где Y-момент инерции Y=∑m_i*r_i² -скалярная величина, мера инертности тела при вращательном движении маятника относительно оси, проходящей через точку О, ξ – угловое ускорение)

Из последних двух формул получаем что .

Решением этого уравнения будет где w_o = , а значит период колебаний физического маятника равен Т₀=2π

Математический маятник - материальная точка подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной L. Предполагаем что d=l, Y=ml² получим формулу периода колебаний математического маятника Т₀=2π

Для тела подвешенного на легкой упругой проволоке, которое совершает крутильные колебания вокруг оси, совпадающей с проволокой. При повороте на малый угол в проволоке возникает возвращающий момент упругих сил:

M=-c* Коэффициент возвращающего момента зависит от материала проволоки и её размеров:

где G – модуль сдвига характеризующий упругие свойства материала, r – радиус проволоки, L – её длина.

Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид:

Y* =M

Из этой и M=-c* получаем Решением этого уравнения будет где - угловое смещение от положения равновесия, а - амплитуда колебаний , а значит период колебаний математического маятника равен Т₀=2π (w₀=

Свободные колебания становятся затухающими из-за наличия сил сопротивления. Например когда материальная точка колеблется в вязкой среде, при малых скоростях на неё действует сила сопротивления среды Fcопр=-rv=-rx где r – коэффицент сопротивления среды. Поэтому из второго закона Ньютона получаем:

mx’’=-kx-rx, получим отсюда дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

x’’+r\x * x’ +k\m*x=0

Его решение для случая, когда k\m >(r\2m)² имеет вид x=A₀e^-bt sin(wt+a) где A₀e^-bt – амплитуда собственных затухающих колебаний, b- коэффициент затухания, w – угловая частота затухающих колебаний, а – начальная фаза.

Для случая, когда k\m <(r\2m)² система совершает апериодические движение к положению равновесия. Коэффициент затухания b – величина обратная времени, за которое амлитуда убывает в е раз: b=r\2m

Круговая частота затухающих колебаний w =