
- •П ример 2.
- •8. Кодирование и декодирование, криптология и криптография, кодирующее устройство.
- •Алфавитное кодирование
- •14. Обнаружение ошибки в кодах Хемминга.
- •15. Конечный автомат. Входной и выходной алфавит, функции переходов и выходов
- •28. Примитивно – рекурсивные и частично – рекурсивные функции. Пример построения рекурсивной функции.
- •Примеры Приведем некоторые примеры частично рекурсивных функций.
- •29. Эквивалентность слов в ассоциативном исчислении. Определения, пример.
- •30. Нормальный алгоритм Маркова.
- •31. Машина Тьюринга. Описание, пример.
1. Графы: ориентированные и неориентированные. Определение, способы задания, примеры. Утверждение о количестве ребер графа с n вершинами.
Совокупность множества M с заданным на нем бинарным отношением T принадлежит M2 называется графом G = < M,T >, где M – носитель графа – множество вершин, изображаемых точками; Т – сигнатура графа – множество линий, обозначающих отношения и называемых ребрами.
Граф называется ориентированным(орграфом), если он содержит направленные ребра(дуги). Соответственно граф с неориентированными ребрами называется неориентированным.
Граф можно задать следующими способами:
Матрицей смежности, где каждой i-й строке(j-му столбцу) однозначно сопоставляют элемент множества M, между которыми выполняется отношение смежности. Т.е. 2-е вершины, инцендентные одному ребру, смежны. Два ребра, нцендентные одной вершине, тоже смежны. Тогда каждая клетка bij взаимно однозначно соответствует элементам множества M*M = M2. Клетку bij, которая соответствует элементу, принадлежащему бинарному отношению T принадлежащему М2, отмечают, например, единицей, а в остальные клетки, записывают нули.
Перечислением дуг, например:
M = {a,b,c,d,e}, T={(a,b),(a,c),(a,d)…(e,c)}
3) Фактор-множества, представленного парами «элемент множества М – подмножество М, представляющее собой окрестность единичного радиуса этого элемента» [<a,{b,c,d,}>…<e,{c}>]
4) Орграф может быть задан матрицей инциндентности А размерностью n*m: А = ||aij||, где n= |M|, m=|T|, у которой aij = 1, если ai является концом пути tj, -1 если ai является началом пути tj, 0 если вершина ai не инцендентна дуге tj.
Количество ребер в полном графе с N вершинами равно N(N − 1)/2.
2. Степени вершин неориентированного графа. Источник и сток. Степени входа и выхода ориентированного графа. Примеры.
Степень вершины — количество рёбер графа G, инцидентных вершине x. Обозначается d(x). Минимальная степень вершины графа G обозначается δ(G), а максимальная — Δ(G).
Изолированной
вершиной называется
вершина, у которой и степень входа, и
степень выхода равны
.
Источником называется вершина, степень выхода которой положительна, а степень входа равна .
Стоком называется вершина, степень входа которой положительна, а степень выхода равна .
Степенью
выхода вершины
ориентированного
графа называется число выходящих
из
дуг
(ребер). Степенью
входа вершины
ориентированного
графа называется число входящих в
дуг
(ребер).
3. Основные утверждения о степенях вершин графов.
Степенью вершины в графе называется число выходящих из нее ребер. В ориентированном графе у каждой вершины есть 2 степени: входящая (число ребер, входящих в вершину) и исходящая (число ребер, выходящих из вершины). Мы говорим, что вершина графа четная, если ее степень четна, и что вершина нечетная - в противном случае (в графе на рис. наверху все вершины четные). Для ориентированного графа понятие четности вершины обычно не вводится. В графе степени вершин и количество ребер связаны важными соотношениями:
4. Изоморфизм графов. Построение изоморфизма. Примеры.
Определение.
На множестве неориентированных графов
введем бинарное отношение, называемое
отношением
изоморфизма, которое определим
следующим образом: будем говорить, что
графы
и
связаны отношением изоморфизма,, если
существует пара взаимно однозначных
отображений
и
таких, что для любого ребра
выполнено условие:
.
Графы
и
,
связанные отношением изоморфизма,
называют изоморфными и пишут
.
П
ример
1. На рисунке изображены три
геометрических графа.
Покажем, что графы
и
неизоморфны. Будем рассуждать от
противного. Предположим, что эти графы
изоморфны. Тогда существует пара задающих
изоморфизм отображений
,
так что
и
.
То есть при изоморфизме образами кратных ребер графа должны быть кратные ребра. Но кратных ребер в графе нет. Следовательно, наше предположение об изоморфизме графов и неверно.
Покажем, что графы
и
изоморфны. Определим отображения
следующим образом:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Надо показать, что для каждого ребра
графа
,
если
то
Вначале проверим
выполнение этого условия для ребра
графа
,
т.е. покажем, что высказывание
истинно.
Действительно, с
учетом того, что
,
,
,
вместо
можем записать
,
что верно (см. рис.).
Аналогичную проверку делаем и для остальных ребер графа .
5. Операции над графами.
Пусть
- произвольный неориентированный граф,
а
- его подграф. С каждой вершиной
и каждым ребром
графа
можно
связать подграфы
,
и
.
1. Подграф
получается из подграфа
удалением вершины
и всех инцидентных этой вершине ребер.
Отметим, что если
не входит в множество вершин графа
,
то
.
2. Подграф
получается из подграфа
удалением ребра
и всех инцидентных этой вершине ребер.
Если
не входит в множество ребер графа
,
то
.
3. Подграф
получается из подграфа
добавлением ребра
и двух его концевых вершин. Если
входит в множество ребер графа
,
то
.
4. Говорят, что граф
получен из графа
путем подразбиения ребра
,
если
,
,
,
,
,
где
- концы ребра
.
П ример 2.
- граф, полученный
из графа
путем подразбиения ребра
.
Пусть
и
-
подграфы графа
.
6. Пересечением
графов
и
называется граф
.
7. Объединением
графов
и
называется граф
.
Аналогично определяется пересечение и объединение любого конечного числа подграфов.
Определение.
Пусть
,
,…,
- непустые подграфы графа
и выполнены условия:
1.
;
2.
.
Тогда семейство
множеств
называется дизъюнктным разбиением
графа
.
6. Матрица смежности ориентированного графа. Примеры.
. Матрицей
смежности орграфа
называется матрица
размера
,
элементы которой
,
где
- число дуг, исходящих из вершины
с номером
и заходящих в вершину с номером
.
7. Эйлеров цикл. Определение, критерий существования.
Определение. Цикл на графе называется эйлеровым циклом, если он содержит все вершины и все ребра графа.
Определение. Граф, на котором имеется эйлеров цикл, называется эйлеровым графом.
Пример
1. Рассмотрим граф
:
,
,
,
,
.
Цикл
эйлеров. Следовательно,
- эйлеров граф.
Лемма. Если степень каждой вершины связного графа четна, то он содержит хотя бы один цикл.
Доказательство.
Так как степени вершин графа
четные, то
.
Имеем:
.
Так что
,
и, значит,
.
Следовательно, согласно основной теореме
о деревьях граф
не может быть деревом, а, значит, на графе
имеется хотя бы один цикл.
■
Теорема (критерий эйлеровости графа). Ненулевой граф является эйлеровым в том и только в том случае, если он связен и каждая его вершина имеет четную степень.
8. Кодирование и декодирование, криптология и криптография, кодирующее устройство.
Кодирование информации это преобразование формы представления информации с целью ее передачи или хранения. Кодирование это представление символов одного алфавита символами другого. Правила, по которым осуществляется кодирование называются кодом. Под словом понимают последовательность символов,. количество символов в которой называется длиной кода. Слова так же называют кодовыми комбинациями. Если при кодировании получают комбинации одинаковой длины, то такой код называют равномерным, а длину кодовых комбинаций в этом слове называют значимостью кода. Если кодовые комбинации различной длины, то код называется неравномерным. Процесс обратный кодированию называется декодированием. Если в коде ни одна более короткая комбинация не является началом более длинной кодовой комбинации, то код называется префиксным.
Криптология - наука, занимающаяся методами шифрования и дешифрования. Криптология состоит из двух частей —криптографии и криптоанализа. Криптография занимается разработкой методов шифрования данных, в то время как криптоанализ занимается оценкой сильных и слабых сторон методов шифрования, а также разработкой методов, позволяющих взламывать криптосистемы.
Криптография - наука о методах обеспеченияконфиденциальности (невозможности прочтения информации посторонним) и аутентичности (целостности и подлинности авторства, а также невозможности отказа от авторства) информации.
Изначально криптография изучала методы шифрования информации — обратимого преобразования открытого (исходного) текста на основе секретного алгоритма и/или ключа в шифрованный текст (шифротекст). Традиционная криптография образует раздел симметричных криптосистем, в которых зашифрование и расшифрование проводится с использованием одного и того же секретного ключа. Помимо этого раздела современная криптография включает в себя асимметричные криптосистемы,системы электронной цифровой подписи (ЭЦП), хеш-функции, управление ключами,получение скрытой информации, квантовую криптографию.
9. Построение алфавитного кодирования. Примеры.