Свойства нормы

1. 

2. 

3.  [косинус угла]

4. 

5.  [аксиома 1]

25. Ортогона́льная систе́ма элементов векторного пространства со скалярным произведением — такое подмножество векторов  , что любые различные два из них ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю:

(φ_i,φ_j) = 0.

Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента   может быть вычислено по формулам:  , где  .

Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространствасо скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ( ), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Процесс Грама (англ.) ― Шмидта — это один из алгоритмов, в которых на основе счётного множества линейно независимыхвекторов   строится множество ортогональных векторов   или ортонормированных векторов  , причём так, что каждый вектор   или   может быть выражен линейной комбинацией векторов  .Алгоритм

Пусть имеются линейно независимые векторы  .

Определим оператор проекции следующим образом:

где   — скалярное произведение векторов   и  . Этот оператор проецирует вектор   ортогонально на вектор  .

Классический процесс Грама — Шмидта выполняется следующим образом:

На основе каждого вектора   может быть получен нормированный вектор:   (у нормированного вектора направление будет таким же, как у исходного, а длина — единичной).

Результаты процесса Грама — Шмидта:

 — система ортогональных векторов либо

 — система ортонормированных векторов.

Вычисление   носит название ортогонализации Грама — Шмидта, а   — ортонормализации Грама — Шмидта.

26. Лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции y = kx) на случай более общего множества аргументов и значений. Лине́йным отображе́нием векторного пространства L_K над полем K в векторное пространство M_K (лине́йным опера́тором из L_K вM_K) над тем же полем K называется отображение

,

удовлетворяющее условию линейности

f(x + y) = f(x) + f(y),

f(αx) = αf(x).

для всех   и  .

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис  . Пусть   — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

,

где x^k — координаты вектора   в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть   — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

.

Вектора   также разложим в выбранном базисе, получим

,

где   — j-я координата k-го вектора из  .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

.

Выражение  , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица   при умножении на столбец x^k даёт в результате координаты вектора  , возникшего от действия оператора   на вектор  , что и требовалось получить.

 Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов  . Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным.