
билеты по матану
.docxПредел функции
определена
в открытом интервале
,
содержащем точку
,
за исключением может быть самой точки
Определение
Число А называется пределом функции в точке x0 (или при x–>x0) если для любого ε>0 найдется δ>0, такое что для всех x, удовлетворяющих условию |x-x0|<δ, x≠x0 справедливо неравенство |f(x)-A|<ε
Предел на бесконечности
Число А называется пределом функции при x–>∞ если для любого положительного ε (ε>0) найдется δ>0, такое что для всех x, удовлетворяющих условию |x|>δ, справедливо неравенство |f(x)-A|<ε
Бесконечно малая функция
Функция
называется
бесконечно малой в точке a,
если
Бесконечно большая функция
Функция
называется
бесконечно большой при x–>x0,
если
(обратная
величина к бесконечно малой)
Если
–
б.б. при
,
то в окрестности точки
функция
не является ограниченной, обратное
утверждение неверно, т.е. функция может
быть неограниченна, но не быть бесконечно
большой.
Если
при
является
бесконечно большой (
)
и
,
то
,
то
Свойства бесконечно малых:
Сумма бесконечно малых бесконечно мала
– бесконечно малая
– бесконечно
малая
Произведение бесконечно малой на ограниченную является бесконечно малой
Функция
называется ограниченной
в точке
на некотором промежутке
,
если для любого из этого промежутка
выполняется неравенство
,
где
– какое-то фиксированное число. Пример:
(ограничена на любом промежутке, т.к.
)
– бесконечно малая
– бесконечно
малая равносильны
( )
Произведение бесконечно малых является бесконечно малым
– бесконечно малая
– бесконечно малая
ограничена в районе точки
– бесконечно
малая
Свойства пределов:
Предел суммы равен сумме пределов
Если
,
то
Доказательство:
– б.м.
– б.м.
– сумма
бесконечно малых бесконечно малая
Предел произведения равен произведению пределов
Если
,
то
, имеющая предел в точке , ограничена в окрестности этой точки
Доказательство:
Постоянный множитель выносится за знак предела
Предел частного равен частному предела, если предел знаменателя отличен от нуля
Если
,
то
Доказательство:
– ?
– б.м?
– ограничена
при
Односторонние пределы
Если
в определении предела вместо условия
|x-a|<δ,
x≠a
наложить условие a<x<a+δ,
то мы получим односторонний предел
Если
a-δ<x<a,
то мы получим предел слева
Если предел слева и справа совпадают, то существует общий предел
=>
Основные пределы анализа (Замечательные пределы)
Доказательство:
Теорема о сжатой переменной
Если
при
,
и
,
тогда
случай
.
Рассмотрим единичную окружность
При
Тогда
Если
,
то
Если
,
то
Доказательство:
Доказательство:
1
С
ледствие:
,
Доказательство:
Эквивалентные БМФ
Бесконечно
малые функции
и
называются
эквивалентными, если при
,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При вычислении предела произведения и частного бесконечно малые можно заменять на эквивалентные
Доказательство:
Замечание: В сумме или разности заменять бесконечно малые на эквивалентные вообще говоря нельзя
Непрерывные функции
Пусть точка x0 является внутренней точкой области определения функции y=f(x)
Функция
f(x)
называется непрерывной в точке x0,
если
Все элементарные функции непрерывны во внутренних точках области определения
Элементарные функции:
степенные:
показательные:
логарифмические:
основные тригонометрические:
обратные тригонометрические
f(x)
называется непрерывной на промежутке
,
если она непрерывна во всех точках
этого промежутка
Классификация точек разрыва
Т
очки,
в которых функция является не непрерывной,
называются точками разрыва (подразумевается,
что функция определена в окрестности
точки разрыва)
предел существует, но функция в точке x0 не определена
В это случае точка x0 называется точкой устранимого разрыва
скачок
Точка x0 называется точкой скачка функции f(x), если в этой точке пределы слева и справа существуют, но не равны между собой
Устранимые разрывы и скачки называются разрывами первого рода
x0 называется точкой бесконечного разрыва функции, если
x0 называется точкой существенного(неустранимого) разрыва функции f(x), если
не существует ни в конечном, ни в бесконечном виде
Бесконечные и неустранимые разрывы называются разрывами второго рода
Производная*
Производной
функцией
в
точке
называется
Функция должна быть определена в самой точке a и в ее окрестности
Геометрический смысл производной
В
пределе секущая становится касательной
к графику функции. Касательная – это
предельное положение соответствующей
секущей. При малых
секущая идет практически по графику
функции.
Геометрический смысл производной состоит в том, что она совпадает с tg угла наклона касательной к графику функции в точке x0
Производная отвечает за возрастание и убывание функции. Там, где производная положительна, функция возрастает (причем, тем быстрее, чем производная). Там, где производная отрицательна, функция убывает
Табличные производные*
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства производных*
Дифференцирование – линейная операция
Производная произведения
Производная частного
Производная сложной функции
сложная
функция
Доказательство:
Производная обратной функции
Дифференциал
-
дифференциал
функции y
Дифференциалом функции в точке называется
Дифференциал является функцией двух аргументов:
и
Свойства дифференциалов:
Дифференциал является главной частью приращения функции
(
)
– б.м.
при
малых
:
Если
, то
Теорема Лагранжа (Формула конечных приращений)
П
усть
функция
непрерывна
и дифференцируема на промежутке
,
тогда внутри промежутка найдется точка
c,
такая что:
Теорема
Лагранжа
утверждает,
что на кривой
найдется
такая точка с,
в которой касательная параллельна
хорде AB
– формула
конечных приращений
Монотонные функции*
Убывающие или возрастающие функции называются монотонными
Функция
называется монотонно возрастающей на
промежутке
,
если для любых
и
выполняется
неравенство
строго
возрастающая
нестрого
возрастающая
Функция
называется монотонно убывающей на этом
промежутке, если
(строго
убывающая)
Теорема Лагранжа (достаточное условие монотонности функции)
Если для всех точек промежутка
,
то функция
возрастает
,
то функция
убывает
Доказательство:
Зафиксируем любые точки и на интервале, такие что
Согласно
теореме Лагранжа:
,
где
По
условию на всем интервале
.
Следовательно,
,
т.к.
Тогда
=>
=> функция
убывает
Промежутки монотонности дифференцируемой функции
На
промежутках, где производная сохраняет
знак, функция является монотонной.
Таким образом, промежуток монотонного
возрастания может смениться промежутком
монотонного убывания только в тех
точках, где производная меняет знак (
или не существует)
Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания дифференцируемой функции необходимо:
взять ее производную
найти точки, в которых производная равна нулю или терпит разрыв
посмотреть на знаки производной между этими точками
Экстремум*
Точка называется точкой экстремума функции, если:
она является внутренней точкой ООФ
промежуток возрастания в этой точке сменяется промежутком убывания или наоборот
Необходимое условие для наличия экстремума
Необходимым условием для наличия экстремума функции одного аргумента является обращение в нуль (или разрыв) производной этой функции
Если промежуток возрастания сменяется промежутком убывания, то точка экстремума называется максимумом (локальным)
Если промежуток убывания сменяется промежутком возрастания, то точка экстремума называется минимумом(локальным)
Замечание:
Максимум и минимум не нужно путать с наибольшим и наименьшим значением функции на промежутке
Острый экстремум – точка разрыва производной. К такому экстремуму нельзя построить касательную
Правило Лопиталя
Правило
Лопиталя годится для раскрытия
неопределенности типа
,
косвенно и для других видов
Если
,
то
Замечание:
Правило Лопиталя можно применять в случае, если
Правило Лопиталя применяется и в случае неопределенности типа
и
Правило Лопиталя применяется ко всем другим типам неопределенности
Частная производная*
Рассмотрим
функцию
.
Зафиксируем
переменную y:
Тогда мы получим функцию от одной переменной x. Производная этой функции по переменной x называется частной производной z по x
;
Геометрический смысл частных производных
Частная
производная отвечает за возрастание
и убывание функции
в направлении переменной
(т.е. когда
фиксирована). Точно также
отвечает за возрастание и убывание
функции
в направлении переменной
(т.е. когда
фиксирована).
Экстремум функции двух переменных
Т
очка
называется точкой максимума функции
,
если:
Точка является внутренней точкой ООФ
Существует круг на плоскости
с центром в точке , такой, что для всех точек из этого круга выполняется неравенство
Понятие максимума есть понятие локальное также как и для функции одного аргумента
может
не быть наибольшим значением функции
во всей области. Является локальным
наибольшим
Точка называется точкой минимума функции, если:
Точка не лежит на границе ООФ
Существует круг с центром в точке , такой что для всех точек из этого круга выполняется неравенство
Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума
Необходимое условие для наличия экстремума
Пусть
функция
имеет
экстремум в точке
Зафиксируем
переменную
и рассмотрим функцию
.
Эта
функция имеет экстремум в точке
Необходимым условием для наличия экстремума функции одного аргумента является обращение в нуль (или разрыв) производной этой функции
Предположим,
что функция дифференцируема, тогда