Системы счисления. Базис. Алфавит
Система счисления — это способ представления чисел и правила действий над ними.
Виды систем счисления: позиционные и непозиционные.
В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от положения в записи числа.
Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры зависит от ее позиции в числе.
Алфавит системы счисления — полный набор символов определенной системы счисления.
Цифры являются знаками используемые при записи числа. Количество используемых цифр или знаков в алфавите системы счисления называется ее основанием.
Последовательность степеней основания называют базисом системы счисления.
Очевидно, что любое натуральное число в десятичной системе счисления можно представить в виде конечной суммы степеней числа 10 с коэффициентами, равными соответствующим десятичным цифрам натурального числа.
Любую десятичную дробь можно представить в виде суммы отрицательных степеней числа 10.
Поэтому, в соответствии с приведенным выше определением, наша десятичная система является позиционной. Число 10 является основанием десятичной системы счисления. Таким образом, относительно привычной десятичной системы можно сказать следующее.
Существуют и другие Р-ичные системы счисления, например, двоичная, троичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Название каждой такой системы образовано от названия ее основания.
Если мы захотим записать какое-либо число в двоичной системе счисления, то сможем это сделать, используя только цифры 0 и 1. Например, число 9 в двоичной системе счисления имеет вид 1001. Для записи числа в восьмеричной системе счисления мы будем пользоваться цифрами от 0 до 7 включительно. Число 9 в восьмеричной системе счисления имеет вид 11.
Количество цифр в алфавите Р-ичной системы равно основанию системы счисления. Алфавитом произвольной системы счисления с основанием Р служат числа 0, 1, ..., Р-1, каждое из которых должно быть записано с помощью одного уникального (то есть отличного от других) символа, младшей же цифрой всегда является 0.
Основанием позиционной Р-ичной системы счисления может быть любое натуральное число, большее или равное двум.
Если основание системы счисления Р меньше десяти, то в качестве алфавита удобно (но не обязательно) использовать первые Р арабских цифр. Например, в пятеричной системе счисления будут использоваться пять младших Десятичных цифр: 0, 1, 2, 3, 4.
Если основание системы счисления больше 10, но меньше либо равно 36, то в качестве первых 10 цифр обычно используют десять арабских цифр, а в качестве остальных "цифр" - буквы латинского алфавита.
Для систем счисления с основаниями, которые больше 36, единых правил для формы записи цифр не существует.
