Билет № 15. Точная верхняя и точная нижняя грани ф-ии на сегменте. Вторая теорема Вейерштрасса. Равномерная непрерывность, теорема Кантора.

Множество {f(x)} всех значений непрерывной на сегменте [a,b] ф-ии f(x) ограничено и сверху, и снизу. Поэтому у этого множества существуют точная верхняя грань М и точная нижняя грань м. Числа М и м принято называть соот-но точной верхней и точной нижней гранями ф-ии f(x) на сегменте [a,b] и обозначать символами M=sup(на сегменте a,b) f(x), m=inf(на сегменте [a,b]) f (x).

Теорема 16( 2-ая теорема Вейерштрасса) (С доказательством). Если ф-я f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то среди ее значений на этом сегменте имеются значения, равные ее точной верхней грани М и ее точной нижней грани м (т.е. на сегменте[a,b], существуют такие точки х1 и х2, что f(x1)=M, f(x2)=m ).

Равномерная непрерывность.

Ф-я f(x) наз-ся равномерно непрерывной на множестве {x}, если для любого положительного числа ипсилон найдется отвечающее ему положительное число сигма, обеспечивающее справедливость неравенства │f(x штрих) – f(x двойной штрих )│<ипсилон. Для любых двух точек х(штрих) и х(двойной штрих) множества {x}, удовлетворяющих условию │х(штрих)- х(двойной штрих)│<сигма.

Теорема Кантора 17 (С доказательством). Если ф-я f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то она и равномерно непрерывна на этом сегменте.

Билет № 16. Приращение ф-ии и приращение аргумента. Разностная форма условия непрерывности. Производная функции в точке. Физический и геометрический смысл.

Пусть ф-я y=f(x) определена на некотором интервале (a,b). Фиксируем любое значение х из указанного интервала и зададим аргументу в точке х произвольное приращение дельта х такое, что значение х + дельта х также принадлежит интервалу (a,b). Приращением ф-ии y=f(x) в точке х, соответствующим приращению аргумента дельта х, назовем число дельта у=f(x+дельта x)-f(x).

Имеет место следующее утверждение –так называемая разностная форма условия непрерывности: ф-я y=f(x) непрерывна в точке х, если приращение дельта у этой ф-ии в точке х, соответ-ее приращению аргумента дельта х, явл-ся бесконечно малым при дельта х→0, т.е. если lim∆y=lim[f(x+∆x)-f(x)]

∆x→0 ∆x→0

=0.

Производная ф-ии в точке.

Производной ф-ии y=f(x) в данной фиксированной точке х наз-ся предел при ∆х→0 разностного отношения (при условии, что этот предел существует). F(штрих) (х)= lim ∆y/∆x=lim f(x+∆x)-f(x)/∆x .

∆x→0 ∆x→0

Физический и геометрический смысл

Предположим, что ф-я y=f(x) описывает закон движения материальной точки по прямой линии (т.е. зависимость от х пути у, пройденного точкой от начала отсчета за время х). Тогда разностное отношение определяет среднюю скорость точки за промежуток времени от х до х+∆х. В таком случае производная f(штрих)(x), т.е. предел разностного отношения при ∆х→0, определяет мгновенную скорость точки в момент времени х. Итак, производная ф-ии, описывающей закон движения, определяет мгновенную скорость точки. Физические приложения понятия производной используются не только в механике, но и в других разделах физики.

Геометрический смысл. Если сущ-т предельное положение секущей

MP при стремлении точки Р графика ф-ии к точке М(или, что то же самое, при стремлении ∆х к нулю), то это предельное положение наз-ся касательной к графику ф-ии y=f(x) в данной фиксированной точке М этого графика.

Билет № 17. Правая и левая производные в точке. Определение дифференцируемости. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость и непрерывность. Дифференциал функции в точке, инвариантность его формы.

Правой (соот-но левой) производной ф-ии y=f(x) в данной фиксированной точке х наз-ся правый (соот-но левый) предел разностного отношения в точке ∆х=0( при условии, что этот предел существует).

Определение дифференцируемости. Ф-я y=f(x) наз-ся дифференцируемой в данной точке х, если приращение ∆у этой ф-ии в точке х, соответствующее приращению аргумента ∆х, может быть представлено в виде ∆у=А*∆х+альфа*∆х, где А- некоторое число, не зависящее от ∆х, а альфа- ф-я аргумента ∆х, являющееся бесконечно малой при ∆х→0.

Теорема 1 (С доказательством). Для того чтобы ф-я y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Формула представления для дифференциала ф-ии y=f(x)

dy= fштрих(x)dx

явл-ся универсальным и остается справедливым не только в случае, когда аргумент х явл-ся независимой переменной, но и в случае, когда аргумент х сам явл-ся дифференцируемой ф-ей вида х=фи(t) некоторой независимой переменной t. Это свойство дифференциала ф-ии наз-ся инвариантностью его формы.