Сравнение бесконечно малых Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость . [править] Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x) (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β = o(α).

• Если , то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α. Соответственно α = o(β).

• Если (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.

Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного отношения).

• Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

13. Признаки существования предела (сходимости)

1. y_n<=x_n<=z_n и Lim y_n=Lim z_n=C, то lim x_n=c;

^{n->∞ n->∞ n->∞}

2. последовательность монотонная и ограниченная;

3. для любого eps>0 существует такое число N=N(eps), что для всех

n>=N и m>=N |x_n-x_m|<eps

(критерий Коши);

14. Первым замечательным пределом называется предел

    

        Первый замечательный предел равен

Вторым замечательным пределом называется предел

15. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

 

Тот же факт можно записать иначе:

16. а практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :

1. Функция f (x) определена в точке x = a;

2. Предел существует;

3. Выполняется равенство .

17. Непрерывность сложной функции

Теорема . Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u0 = f(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.

(обратной не нашёл)

18

1. f(x) = C, (где С – постоянная) непрерывна на R, т.к. при любом x.

2. f(x) = x, непрерывна на R, т.к. при .

3. f(x) = , непрерывна на R как произведение непрерывных функций.

4. f(x) = , непрерывна на R, т.к. многочлен есть сумма непрерывных функций.

5. f(x) = , где P и Q – многочлены степени n и m соответственно, непрерывна на К кроме тех x, при которых Q обращается в нуль, как частное непрерывных функций.

6. f(x) = sin(x), f(x) = cos(x)

Пусть – произвольная точка множества R. Тогда sinx-sin . Так как , а , то , откуда следует, что функция f(x) = sin(x) – непрерывна.

Аналогично рассуждая, можно доказать непрерывность косинуса. Из непрерывностей синуса и косинуса следуют непрерывности тангенса и котангенса, учитывая что (для тангенса) и (для котангенса).

7. f(x) = arcsin(x), f(x) = arcos(x), f(x) = arctg(x), f(x) = arcctg(x) , непрерывны на своей области определения. Это следует из теоремы об обратной функции, примененной не ко всей тригонометрической функции (к примеру, sin(x)), а к ее отрезку (для sin(x) это отрезок ).

8. , где r – рациональное. Представим r = m / n, . Тогда . Функция непрерывна и строго возрастает на R. По п. 2 также непрерывна.

9. , a > 1, непрерывна на R. Пусть – произвольная точка множества R, = . Докажем, что . Пусть - произвольная последовательность вещественных чисел такая, что . В силу свойств вещественных чисел найдутся последовательности рациональных чисел и , удовлетворяющие при условию: < , откуда . Так как и , то =1. Отсюда и , ч.т.д.

10. Логарифмическая функция непрерывна, что следует из непрерывности показательной функции по теореме об обратной функции.

19

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.