29. Интегральная формула Коши для аналитической функции

П усть f(z)- аналитичная в односвязной области G и на контуре Г, ограничивающую эту область G и пусть точка Z любая точка внутри контура, тогда имеет место интегральная формула Коши:

Доказательство:  - окружность с центром в точке z и радиусом  причем G. По теореме Коши для составного контура будем иметь.

Доказав (**). Подставим в (***).

30. Ряд Тейлора аналитической функции

31. Ряд Лорана аналитической функции

(29-30)

Тейлор: Если в точке z₀ f(z) аналитична, то в окрестности этой точки она представима рядом

где Г- окружность с центром в точке z=z₀ , целиком лежащая в окрестности точки z₀ , в которой функция f(z) аналитична.

Лоран (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f(z), аналитическая в кольце r < | z - z₀ | < R,    представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:          (1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2) где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z₀; в частности, - окружность  

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f(z).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями  называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:  или  

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:  где   r  -  радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z₀ (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z₀ = 0, ).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами

32. Изолированные особые точки аналитической функции

Точка называется и.о.т. ФКП f(z)если в некоторой окрестности точки а f(z) аналитична всюду кроме самой точки а, т.е. в окрестности точки а других точек нет.

Разложение функции f(z) в ряд Лорана сходящийся к f(z) во всех точках круга с центром в и.о.т. а, кроме самой точки а называется разложением функции f(z) в ряд Лорана в окрестности и.о.т. а.

Z₀- устранимая особая точка f(z),если предел f(z) равен конечному числу.

Пусть в окрестности точки а f(z) ограничена (т.е.  const=M>0, |f(z)|M в любой точке z из окрестности точки а) тогда в ряде Лорана главной части нет, есть только правильная. И этот ряд имеет сходимость во всех точках окрестности точки а, кроме самой точки а. Тогда пусть f(a)=C₀, будем считать точка а правильной точкой f(z).

Z₀ – устранимая особая точка f(z), если предел функции в этой точке равен const.

Если точка Z₀ – устранимая особая точка, то ряд Лорана состоит только из правильной части.

Пусть f(z) неограниченна в окрестности точки а и предел в этой точке равен бесконечности, тогда точка а полюс f(z).

Если а полюс то предел равен бесконечности.

Также эта точка является нулем для функции (f(z))^–1

Вывод : точка а является полюсом для f(z) порядка n ,если она является нулем для функции (f(z))^–1 n‑ого порядка.

Точка а – полюс , когда f(z) можно представит в виде (см.вверх). т- порядок полюса.

Если а полюс порядка n для f(z) тогда и только тогда ,когда разложение в ряд Лорана в окрестности точки а содержит в главной части ровно n ненулевых членов.n<.

Точка а существенно особая точка функции f(z), если предел в этой точке не существует.

Точка а с.о.т. f(z), если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов отличных от 0

Рассмотри точку z= - особая точка.

Учитывая разложение в ряд Лорана при z=.

исследование идет через замену =1/z.