Характерные скорости

Полученные выражения для распределения по скоростям позво-ляют установить некоторые характеристики этого распределения. Это три скорости движения молекул газа: наиболее вероятная , средняяи среднеквадратичная.

Наиболее вероятной скорости соответствует максимум функции распределения, который находится из условия ра-венства нулю производнойпо скорости:

(2.9)

или, опуская постоянные множители:

(2.10)

Данному уравнению удовлетворяют три значения скорости:

1.

2. . Оба значения соответствуют минимумам.

3. Значение , обращающее в нуль выражение, и дает нам искомую наиболее вероятную скорость:

, (2.11)

где - молярная масса газа.

Средняя скорость (имеется в виду средняя арифметическая скорость) по определению

(2.12)

Среднеквадратичная скоростьнаходится из условия

, (2.13)

откуда

(2.14)

Поскольку функция распределения Максвелла несимметрична относительно наиболее вероятного значения, то и для трёх харак-терных скоростей значения различны. Вместе с тем наблюдается постоянное соотношение характерных скоростей:

(2.15)

Зависимость распределения от температуры

Подставив выражение для наиболее вероятной скорости в выражение для функции распределения, найдем максималь-ное значение:

(2.16)

Отсюда видно, что при увеличении температуры (при постоян-ной массе молекул) или уменьшении массы молекул(при постоян-ной температуре) максимум функции смещается в сторону больших скоростей, а величина максимума уменьшается. При этом площадь под кривой остается равной единице. Наглядно зависи-мость можно представить в виде трёх кривых, которые можно рас-сматривать как кривые функции для постоянной темпера-туры прилибо для постоянной массы при(рис.10)

Формула Максвелла в приведенном виде.

Для решения ряда задач гораздо удобней выражать скорости молекул в относительном виде– в единицах наиболее вероятной скорости .

За единицу принимается относительная скорость молекулы:

(2.17)

При переходе к новой переменной должно выполняться равен-ство:

(2.18)

Отсюда

(2.19)

Заменив в правой части на, получим:

(2.20)

В таком виде распределение Максвелла является универсаль-ным– оно не зависит ни от температуры, ни от рода газа.

Данная формула является удобной даже для определения моду-ля скорости (а не относительной скорости). С учетом того, что , формула Максвелла примет вид:

(2.21)

20 ©Мати, 2004