ГлаваIi. Распределение Максвелла

Распределение Максвелла занимает особое место среди прочих законов распределения. Этот закон описывает скорости движения молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии. Распределение Максвелла является следствием нормального закона распределения. Распределение молекул по одной составляю-щей скоростиописывается нормальным законом распределения:

, (2.1)

где – масса молекулы газа, – абсолютная температура,

– постоянная Больцмана.

Поскольку функция является экспоненциальной зависи-мостью от квадрата проекции скорости , то она является симмет-ричной относительно нулевого значения и график её совпадает с кривой Гауссовского распределения (рис. 7).

Вероятность того, что проекция скорости лежит в интервале равна площади заштрихованной полоски. Функция нормирована на единицу, т.е. площадь под кривой:

(2.2)

Интегрирование в бесконечных пределах не означает, что в газе есть молекулы с такими скоростями (скорость движения ограниче-на скоростью света). Молекул с очень большими скоростями доста-точно мало, и они не вносят никакого вклада в нормировочный ин-теграл. Это и позволяет записывать такие пределы интегрирования.

Аналогичный вид имеют выражения для функций по осям и().

Поскольку оси координат равноправны, как и равноправны проекции , то находим, что распределение по скоростям может быть найдено как:

(2.3)

Тогда для объемной функции распределения получаем (так как ):

(2.4)

Объемная плотность распределе-ния позволяет найти вероятность по-падания модуля скорости молекул в определенный интервал. В отличие от площадь под кривойфизического смысла не имеет.

Найдем вероятность или относи-тельное число молекул, модуль ско-рости которых заключен в интерва-ле . Таким молекулам соот-ветствуют точки в пространстве ско-ростей, попадающие в сферический слой с радиусамии(рис.8).

Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя и его толщины, т.е. , объемная плотность вероятностиво всех точках слоя одинакова. Попадание модулей скорости разных моле-кул в заданный слой есть события независимые, и мы можем при-менять свойство сложения вероятностей.

Вероятность попадания в этот слой:

(2.5)

Искомая зависимость вероятности от модуля скорости моле-кулы:

(2.6)

Учитывая выражение для объемной плотности вероятности и то, что скорость движения молекул зависит от температуры сре-ды, запишемзакон распределения Максвелла по модулю скорости:

(2.7)

Эта функция также нормирована на единицу:

(2.8)

Следует обратить внимание, что в показателе экспоненты стоит взятое со знаком минус отношение кинетической энергии молекулы , соответствующей рассматриваемой скорости, к величине, характеризующей среднюю энергию молекул газа. Функция зависит не только от скорости молекул, но и от температуры газа, что и отражено в обозначении функции.

Полученные Максвеллом распределения по скоростям не зави-сят ни от структуры молекул, ни от вида взаимодействия из друг с другом. Поэтому они применимы не только к газам, но и к другим агрегатным состояниям вещества, что мы и увидим в лабораторной работе №2.

Вид функции приведен на рис.9.