Примеры законов распределения

Самым простым законом распределения является закон равномерного распределения, при котором все возможные значения случайной величины равновероятны. График функции распреде-ления при равномерном распределении представляет собой прямую линию (рис.4):

Основные характеристики равномерного распределения:

; ;

; ;

Наиболее часто встречающийся на практике закон распределе-ния – это нормальный закон распределения, который еще называют законом Гаусса. Главная особенность нормального закона, отлича-ющая его от других законов распределения, состоит в том, что нор-мальный закон является предельным законом, к которому прибли-жаются другие законы распределения при весьма часто встреча-ющихся типичных условиях.

Функция плотности распределения нормального закона имеет вид:

(1.26)

Основной особенностью графика плотности распределения по нормальному закону является то, что кривая распределения имеет симметричный холмообразный вид (рис.5).

Максимуму функции, равному , соответствует точка; по мере удаления от точки плотность распределения падает, и прикривая асимптотически приближается к оси абсцисс. Численные параметрыи, входящие в распределение, есть, со-ответственно, математическое ожидание и среднее квадратичное от-клонение. Непосредственно из формулы (1.26) видно, что явля-ется центром симметрии распределения. Это ясно из того, что при изменении знака разности выражение (1.26) не изменяется. График нормального распределения симметричен относительно ма-тематического ожидания. Если изменить параметр , то график будет смещаться, не изменяя своей формы вдоль оси абсцисс. То есть параметр характеризует положение распределения на оси абсцисс. Параметр жехарактеризует не положение, а форму кри-вой распределения. Это есть характеристика рассеивания. Наиболь-шая ордината кривой распределения обратно пропорциональна ; при увеличениимаксимальная ордината уменьшается. Так как площадь фигуры, ограниченной сверху кривой распределения, должна всегда быть равной единице, то при увеличениикривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшениикривая распределения вытягивается вверх, сжимаясь с боков, становясь более иглообразной.

На рис.6 показаны три нормальные кривые распределения при , для которых выполняется соотношение.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины для нормального распределения в общем виде раcсчитываются доста-точно сложно, и их конкретные значения зависят от конкретного вида случайной величины; но можно выяснить соотношения между средним квадратичным отклонением и центальными моментами. Эти соотношения не зависят от конкретного распределения, и для всех случайных величин, подчиняющихся нормальному закону, оди-наковы. Для нормального закона выполняется следующее соот-ношение между центральными моментами:

(1.27)

Так как , то все нечетные моменты также равны нулю. Это, впрочем, следует и из симметричности распределения. Так как для нормального закона, то его асимметрия также равна нулю:

(1.28)

Для четных моментов выполняются следующие соотношения:

; (1.29)

, (1.30)

отсюда имеем эксцесс для нормального закона

(1.31)