3. Формулы Крамера

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: x_i = D_i/D, где D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i. D_i =

Пример решения: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%E4_%CA%F0%E0%EC%E5%F0%E0

4. Матрицы и действия над ними

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Обычно матрицы представляются двумерными (прямоугольными) таблицами. Иногда рассматривают многомерные матрицы или матрицы непрямоугольной формы. В данной статье они рассматриваться не будут.У каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса (a_ij) — первый «i» обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» — номер столбца. Говорят «матрица размерности », подразумевая, что в матрице m строк и n столбцов. В одной матрице всегда ,

Пусть a_ij — элементы матрицы A, а b_ij — элементы матрицы B.

Линейные операции:

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен b_ij = λa_ij

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен c_ij = a_ij + b_ij

Вычитание матриц A − B определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы C, элементы которой c_ij = a_ij - b_ij

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть A + Θ = A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Нелинейные операции:

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Транспонирование матрицы (обозначение: A^T) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть

Если A — матрица размера , то A^T — матрица размера

Свойства операций над матрицами

Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

Коммутативность сложения: A + B = B + A.

Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

Вообще говоря, умножение матриц не коммутативно: . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC;

(B + C)A = BA + CA.

С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Свойства операции транспонирования матриц:

(A^T)^T = A

(AB)^T = B^TA^T

(A ^{− 1})^T = (A^T) ^{− 1}, если обратная матрица A ^{- 1} существует.