Пример 1

Выбрать книгу или диск из 10 книг и 12 дисков можно 10 + 12 = 22 способами.

Пример 2

Пусть требуется найти количество слов, составленных не более, чем из 3 букв алфавита {a, b, c, d}. Т.к. слово может состоять из одной буквы или из двух или из трёх букв, то соответствующие количества складываются. По правилу умножения количество n-буквенных слов равно 4ⁿ. Тогда ответ на первоначальный вопрос будет 4¹ + 4² + 4³ = 84.

3. Правило умножения

Правило умножения (правило «и») — одно из основных правил комбинаторики. Согласно ему, если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент Bможно выбрать m способами, то пару (A, B) можно выбрать n·m способами. Естественным образом обобщается на произвольную длину последовательности.

Примеры

Простой

Выбрать книгу и диск из 10 книг и 12 дисков можно   способами.

Количество размещений с повторениями

Если есть множество из n типов элементов, и нужно на каждом из m мест расположить элемент какого-либо типа (типы элементов могут совпадать на разных местах), то количество вариантов этого будет n^m.

Составной

Пусть требуется найти количество слов, составленных не более, чем из 3 букв алфавита {a, b, c, d}. Количество n-буквенных слов равно количеству размещений из 4 букв на nмест с повторениями — оно равно 4ⁿ. Количество всех слов (так как нужно учитывать любое из слов) будет складываться из количеств одно-, двух- и трёхбуквенных слов. Тогда ответ на первоначальный вопрос будет 4¹ + 4² + 4³ = 84.

4. Размещение с повторениями и без повторений

В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

Например,   — это 4-элементное размещение 6-элементного множества {1,2,3,4,5,6}.

В отличие от сочетаний, размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть совпадают как сочетания).

Количество размещений

Количество размещений из n по k, обозначаемое  , равно убывающему факториалу:

Последнее выражение имеет естественную комбинаторную интерпретацию: каждое размещение из n по k однозначно соответствует некоторому сочетанию из n по k и некоторой перестановке элементов этого сочетания; число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту  , в то время как перестановок на k элементах ровноk! штук.

При k=n количество размещений равно количеству перестановок порядка n:^[1][2][3]

Размещение с повторениями

Размещение с повторениями или выборка с возвращением^[4] — это размещение «предметов» в предположении, что каждый «предмет» может участвовать в размещении несколько раз. По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по k равно:^[5][1][4]

Например, количество вариантов 3-x значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно: