Тернарные функции
При n = 3 число булевых функций равно 22³ = 28 = 256. Некоторые из них определены в следующей таблице:
x |
y |
z |
x↓y↓z |
≥2(x,y,z) |
x≠y≠z |
x|y|z |
min(x,y,z) |
x=y=z |
x ⊕ y ⊕ z |
≥2(x,y,z) |
f1 |
f2 |
max(x,y,z) |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Названия булевых функций трех переменных:
Обозначения |
Названия |
x |
3-ИЛИ-НЕ, функция Вебба, функция Даггера, стрелка Пирса |
|
Переключатель по большинству с инверсией, 3-ППБ-НЕ, мажоритарный клапан с инверсией |
x≠y≠z = [≠(x,y,z)] = NE(x,y,z,v) |
Неравенство |
x |
3-И-НЕ, штрих Шеффера |
x&y&z = &(x,y,z) = (x AND y AND z) = AND(x,y,z) = (x И y И z) = И(x,y,z) = min(x,y,z) |
3-И, минимум |
(x=y=z) = [=(x,y,z)] = EQV(x,y,z,v) |
Равенство |
x⊕2y⊕2z = x+2y+2z = ⊕2(x,y,z) = +2(x,y,z) |
Тернарное сложение по модулю 2 |
[>=2(x,y,z)] = (x И y) ИЛИ (y И z) ИЛИ (z И x) |
переключатель по большинству, 3-ППБ, мажоритарный клапан |
f1 |
Разряд займа при тернарном вычитании |
f2 |
Разряд переноса при тернарном сложении |
(x+y+z) = +(x,y,z) = max(x,y,z) = (x OR y OR z) = OR(x,y,z) = (x ИЛИ y ИЛИ z) = ИЛИ(x,y,z) |
3-ИЛИ, максимум |
y
z
=
(x,y,z)
= Webb2(x,y,z)
y
z
=
(x,y,z)[Править]Полные системы булевых функций Суперпозиция и замкнутые классы функций
Результат
вычисления булевой функции может быть
использован в качестве одного из
аргументов другой функции. Результат
такой операции суперпозиции можно
рассматривать как новую булеву функцию
со своей таблицей истинности. Например,
функции 
(суперпозиция
конъюнкции, дизъюнкции и двух отрицаний)
будет соответствовать следующая таблица:
x |
y |
z |
|
f(x,y,z) |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
Говорят, что множество функций замкнуто относительно операции суперпозиции, если любая суперпозиция функций из данного множества тоже входит в это же множество. Замкнутые множества функций называют также замкнутыми классами.
В
качестве простейших примеров замкнутых
классов булевых функций можно
назвать множество {x},
состоящее из одной тождественной
функции, или множество {0},
все функции из которого тождественно
равны нулю вне зависимости от своих
аргументов. Замкнуты также множество
функций 
и
множество всех унарных функций. А
вотобъединение замкнутых
классов может таковым уже не являться.
Например, объединив классы {0} и
,
мы с помощью суперпозиции 
сможем
получить константу 1, которая в исходных
классах отсутствовала.
Разумеется, множество P2 всех возможных булевых функций тоже является замкнутым.