41.Теорема Бернулли.
Пусть в n испытаниях по схеме Бернулли вероятность появления события А в отдельном испытании равна Р, 0<P<1, тогда с вероятностью сколь угодно близкой к 1 можно утверждать, что отклонение относительно частоты m/n от вероятности Р по абсолютной величине будет как угодно малым, если число испытаний n достаточно велико (n∞). Иначе: если положительное как угодно малое, то P(|m/n-P|<)=1.Теорема объясняет устойчивость относительной величины m/n.
42.Понятие
о сходимости по вероятности.
Сходи́мость
по ме́ре (по вероя́тности) в функциональном
анализе, теории
вероятностей и
смежных дисциплинах — это
вид сходимостиизмеримых
функций (случайных
величин),
заданных на пространстве
с мерой (вероятностном
пространстве).
В терминах теории вероятностей, если
дано вероятностное пространство 
с
определёнными на нём случайными
величинами 
,
то говорят, что 
сходится
по вероятности к X,
если
.
Обозначение: 
.
В математич. анализе этот вид сходимости
называют сходимостью по мере.
43.Центральная предельная теорема Ляпунова. Следствие теоремы.
Теорема (Ляпунов).
Если
независимые случайные величины 
имеют конечные
математические ожидания 
и
конечные дисперсии 
,
число их достаточно велико, а при
неограниченном возрастании 
,
где 
-
абсолютные центральные моменты третьего
порядка, то сумма их с достаточной
степенью точности имеет распределение 
(Фактически мы приводим не теорему Ляпунова, а одно из следствий из нее, так как этого следствия вполне достаточно для практических приложений. Поэтому условие , которое названо условием Ляпунова, является более сильным требованием, чем необходимо для доказательства собственно теоремы Ляпунова.)
Смысл условия состоит в том, что действие каждого слагаемого (случайной величины) невелико по сравнению с суммарным действием их всех. Многие случайные явления, встречающиеся в природе и в общественной жизни, протекают именно по такой схеме. В связи с этим теорема Ляпунова имеет исключительно большое значение, а нормальный закон распределения является одним из основных законов в теории вероятностей.
Пусть,
например, производится измерение некоторой
величины 
.
Различные уклонения наблюдаемых
значений
от
истинного ее значения (математического
ожидания) получаются в результате
воздействия очень большого числа
факторов, каждый из которых порождает
малую ошибку
,
причем 
.
Тогда суммарная ошибка измерения
является случайной величиной, которая
по теореме Ляпунова должна быть
распределена по нормальному закону.
Следствие:
Пусть 
последовательность
попарно независимых. случайных величин
с математическими ожиданиями 
и
дисперсиями 
,
причем эти величины обладают следующими
двумя свойствами:
1) Cуществует
такое число L, что для любого i имеет
место неравенство 
,
т, е. все значения случайных величин,
как говорят, равномерно ограничены,
относительно математических
ожиданий;
2) Cумма 
неограниченно
растет при 
.
Тогда
при достаточно большом n сумма 
имеет
распределение, близкое к
нормальному.
Пусть a и 
-
математическое ожидание и дисперсия
случайной величины
.
Тогда
Так
как по следствию из теоремы Ляпунова
случайная величина 
для
больших значений n имеет
распределение, близкое к нормальному,
то согласно формуле (32)
имеет место соотношение
|
(56) |
где Ф(х) - интеграл вероятностей.