4. Линейные неоднородные дифференциальные (лнду) уравнения высших порядков
Это уравнения вида
, (5)
здесь
,
– постоянные;
– непрерывные функции от х.
Теорема1.
Общее решение неоднородного уравнения
(5) представляется как сумма какого-нибудь
частного решения этого уравнения
и общего решения
соответствующего однородного уравнения
,
т.е.
,.
Частное решение можно находить методом подбора по правой части или методом вариации произвольных постоянных.
1. Пусть
уравнения (5)
имеет вид
,
тогда
а) если нуль не
является корнем характеристического
уравнения, то
,
где
– многочлен с неопределенными
коэффициентами;
б) если нуль –
корень характеристического уравнения
кратности
,
то частное решение ищем в виде
,
где
– многочлен с неопределенными
коэффициентами.
2. Пусть в правой
части дифференциального уравнения
стоит функция
,
где
– многочлен от
;
тогда надо различать два случая:
а) если
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение следует
искать в виде
,
где
– многочлен той же степени, что и
,
но с неопределенными коэффициентами;
б) если
есть корень кратности
характеристического уравнения, то
частное решение неоднородного уравнения
следует искать в виде
,
где
– многочлен той же степени, что и
.
3. Пусть правая
часть уравнения имеет вид
,
где
и
– многочлены. Тогда вид частного решения
определяется следующим образом:
а) если число
не есть корень характеристического
уравнения, то частное решение имеет вид
,
где
и
– многочлены с неопределенными
коэффициентами,
;
б) если число
есть корень характеристического
уравнения кратности
,
то
.
4. Пусть
,
где
и
– многочлены от х.
Тогда:
а) если число
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение ищем в
виде
,
где
и
– многочлены с неопределенными
коэффициентами, где
;
б) если число
является корнем кратности
характеристического многочлена, то
частное решение ищем в виде
,
где
и
имеют тот же смысл, что и в случае а).
Таким образом,
методом подбора решаются дифференциальные
уравнения (1.7), имеющие правую часть вида
,
где
и
– многочлены степеней
и
;
и
– числа.
Вид частного
решения
повторяет вид правой части
,
где
– кратность, с которой
(
и
взяты из правой части) встречается среди
корней характеристического уравнения;
и
– многочлены с неопределенными пока
коэффициентами, где
.
Пример 8.
Найти общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения (ЛНДУ)
.
Запишем общее
решение
соответствующего линейного однородного
дифференциального уравнения (ЛОДУ)
:
.
Правая часть ЛНДУ
– многочлен первой степени, число нуль
не является корнем характеристического
уравнения
.
Значит, частное решение будем искать в
виде
.
Подставим
,
,
в дифференциальное уравнение:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях
,
получим
Решая эту систему, найдем
,
.
Тогда
.
Общее решение
будет иметь вид
.
Пример 9.
Найти общее решение ЛНДУ
.
Запишем общее
решение
соответствующего ЛОДУ:
.
Правая часть ЛНДУ
имеет вид
,
причем число
является корнем характеристического
уравнения
кратности 2.
Значит, частное
решение ЛНДУ будем искать в форме
,
т.е.
.
Производные
,
подставим в ЛНДУ и сравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях, получим
,
т.е.
.
Общее решение
будет иметь вид
.
Пример 10. Найти
частное решение дифференциального
уравнения
,
,
.
Решение.
Решим соответствующее однородное
уравнение:
.
Характеристическое уравнение
,
,
.
Решение однородного уравнения
.
Вид частного решения
(метод подбора по правой части). Определим
коэффициент
:
,
.
Подставляя в данное
уравнение
и
,
получим:
,
.
Общее решение
дифференциального уравнения:
.
Определим константы и , т.е. решим задачу Коши:
,
,
.
Ответ:
.
Пример 11.
Найти общее решение ЛНДУ
.
Характеристическое
уравнение
соответствующего ЛОДУ имеет корни
,
следовательно, общее решение ЛОДУ есть
.
Правая часть ЛНДУ
имеет вид
,
т.е. число
не является корнем характеристического
уравнения. Поэтому частное решение ЛНДУ
ищем в виде
или
,
где
и
определяются после подстановки
,
,
в исходное ЛНДУ:
.
Приравнивая
коэффициенты при
и
в обоих частях, получим
,
,
откуда
,
.
Общее решение
.
Пример 12.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Характеристическое
уравнение
имеет четыре корня:
,
,
,
,
следовательно, общее решение
соответствующего ЛОДУ
.
Правая часть
представляет собой
.
Так как нуль не является корнем
характеристического уравнения, то
частное решение ЛНДУ повторяет вид
правой части и ищется в виде
.
Дифференцируя
четыре раза и подставляя полученные
выражения в дифференциальное уравнение,
получим
.
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
будем иметь
.
Таким образом, общее решение ЛНДУ примет
вид
.