5.7. Разложить в ряд Лорана указанную функцию. Степени z

5.7.1. #3) ;

5.7.2. #4) ;

5.7.3. #1) ;

5.7.4. #5)

5.7.5. #2) ;

5.7.6. #4) ;

5.7.7. #3) ;

5.7.8. #5)

5.7.9. #1) ;

5.7.10. #2) ;

Степени z-1

5.7.11. #3) ;

5.7.12. #1) ;

5.7.13. #4) ;

5.7.14. #5)

5.7.15. #2) ;

5.7.16. #5)

5.7.17. #3) ;

5.7.18. #2) ;

5.7.19. #1) ;

5.7.20. #4) ;

5.8 Комплексные числа. Определите модуль

5.8.1. . .

5.8.2. . .

5.8.3. . .

5.8.4. . .

5.8.5. . .

5.8.6. . .

5.8.7. . .

5.8.8. . .

5.8.9. . .

Вычислите определитель

5.8.10. где . #1) .

5.8.11. где . #4) .

5.8.12. где . #5) .

5.8.13. где . #1) .

5.8.14. где . #2) .

5.8.15. где . #3) .

Вычислите действительную

5.8.16. . #1) .

5.8.17. . #3) .

5.8.18. . #5) .

5.8.19. . #4) .

5.8.20. . #2) .

5.8.21. . #5) .

Определите все комплексные решения уравнения

5.8.22. . #1) .

5.8.23. . #5) .

5.8.24. . #2) .

5.8.25. .

#3) .

5.8.26. .

#5) .

5.8.27. . #2)

5.8.28. Вычислить . #2) .

5.8.29. . #3) 1 .

5.8.30. . #4) .

5.8.31. . #5) 0.

5.9. Теория

5.9.1. Функция называется гармонической в области , если она имеет в ней непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа

#3)

5.9.2. Функция называется аналитической в точке , если она…

#4) дифференцируема в ней и некоторой ее окрестности;

5.9.3. Функция называется аналитической в области , если она ……

#2) дифференцируема в каждой точке этой области;

5.9.4. Если , то в каждой точке дифференцируемости функции выполняются равенства (Коши - Римана)

#1)

5.9.5. Для всякой аналитической функции производная выражается через частные производные функций

и

#5)

5.9.6. По какой формуле вычисляют интеграл от функции

комплексной переменной

# 3)

5.9.7. Если - аналитическая функция в односвязной области D, то значение интеграла

#4) не зависит от линии Г интегрирования, а только от координат начальной и конечной точки этой линии

5.9.8. Если функция является аналитической в односвязной области D, содержащей точки , и - первообразная для функции , то справедлива формула

#2)

5.9.9. Для всякой функции аналитической в некоторой односвязной области D, интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру Г, целиком принадлежащему области D равен

#4) равен нулю

5.9.10. Если функция является аналитической в некоторой области D, ограниченной кусочно-гладким контуром Г, и на самом контуре, то верна интегральная формула Коши

#1)

5.9.11. Если функция является аналитической в некоторой области D, ограниченной кусочно-гладким контуром Г, и на самом контуре, то для любого натурального n верна формула

#3)

5.9.12. Функция ,однозначная и аналитическая в точке , разлагается в окрестности этой точки в ряд Тейлора.

#5)

5.9.13. Функция при раскладывается в ряд Тейлора.

#4)

5.9.14. Функция при раскладывается в ряд Тейлора.

#2)

5.9.15. Функция при раскладывается в ряд Тейлора.

#4)

5.9.16. Функция при раскладывается в ряд Тейлора.

#5)

5.9.17. Функция аналитическая в кольце

представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана

#1)

5.9.18. Изолированная особая точка называется устранимой особой точкой функции , если в разложении в ряд Лорана относительно этой точки:

1) отсутствует правильная (регулярная) часть разложения

#2) отсутствует главная часть разложения

3) главная часть ряда Лорана содержит, лишь конечное число членов

4) ) главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов

5)

5.9.19. Изолированная особая точка называется полюсом функции , если в разложении в ряд Лорана относительно этой точки:

#3) главная часть ряда Лорана содержит, лишь конечное число членов

5.9.20. Изолированная особая точка называется существенно особой точкой функции , если в разложении в ряд Лорана относительно этой точки:

#4) главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов

5.9.21. Вычетом функции в изолированной особой точке называется

#1) коэффициент в разложении в ряд Лорана

5)

5.9.22. Если полюс порядка , то вычет функции в этой точке находится по формуле

#2)

5.9.23. Вычетом функции в бесконечности называется

#2) коэффициент в разложении в ряд Лорана

5.9.24. Если функция аналитическая внутри замкнутого контура и на этом контуре за исключением конечного числа особых точек

, внутри , то

#5)

25. Функция является аналитической в бесконечно удаленной точке , если функция

#4) аналитична в точке