3.2.1. Угол между двумя прямыми, заданными в общем виде

Пусть прямые изаданы своими общими уравнениями:

: ,

: .

Угол между прямыми будем искать как угол между их нормалями. Имеем:=— нормальный вектор прямой,=— нормальный вектор прямой,

. (2)

3.2.2. Условие параллельности двух прямых на плоскости

Пусть прямые изаданы своими общими уравнениями:

: , где=— нормаль прямой;

: , где=— нормаль прямой.

Тогда   (см. п. 2.4.5).

Условие параллельности прямых и : .

Пример 15. Пусть прямые изаданы своими общими уравнениями:

: , где=— нормаль прямой;

: , где=— нормаль прямой.

Очевидно, что , так как. Действительно, .

3.2.3. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости

Пусть прямые изаданы своими общими уравнениями:

: , где=— нормаль прямой;

: , где=— нормаль прямой.

Тогда   (,)=0 .

Условие перпендикулярности прямых и : .

Пример 16. Пусть прямые изаданы своими общими уравнениями:

: , где=— нормаль прямой;

: , где=— нормаль прямой.

Очевидно, что , поскольку. Действительно,

(,) =.

3.3. Уравнение прямой в отрезках

Пусть :— общее уравнение некоторой прямой, и пусть, т. е. прямая не проходит через начало координат. Тогда

;

здесь ,.

Уравнение вида называетсяуравнением прямой в отрезках. Очевидно, прямая пресекает координатные осиив точкахи, соответственно. Действительно: если, то; а если, то. Поэтомуи— точки пересечения прямойс осями координат.

Пример 17. Пусть :. Найти точки, в которых прямаяпересекает координатные оси.

Решение. Запишем уравнение прямой в отрезках:

(,,) ,, и— точки пересечения прямой с осями координат.

3.4. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Рис. 16

Пусть дана прямая : , где — ее нормальный вектор, и пусть точка , т. е. . Требуется определить расстояние от точки до прямой (см. рис. 16).

Пусть — ортогональная проекция точки на прямую . Тогда

.

Очевидно, = {,}. Отсюда

или .

Напомним, что (,) = , где— угол между векторамии ;здесь

=

Отсюда

(,) = и |(,)| = .

Следовательно,

= ==

= .

Таким образом, расстояние от точки до прямой находится по формуле

= =. (3)

Найдем теперь расстояние от начала координат до прямой :

= . (4)

Пример 18. Найти расстояния от точки и от начала координат до прямой : .

Решение. Имеем =, где , , , , .Отсюда

= =.

Расстояние от начала координат до данной прямой:

= =.

3.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть — общее уравнение прямой на плоскости. Предположим, что . Тогда

, где ,.

Исследуем геометрический смысл коэффициента .

Пусть и . Поскольку точки и принадлежат прямой , их координаты удовлетворяют ее уравнению:

, (5)

. (6)

Вычитая (5) из (6), имеем:

, где ,

(см. рис. 17).

Рис. 17

Таким образом, —уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом .Здесь:

—угол, который прямая образует с осью ,

—точка, в которой прямая пересекает ось (),

—координаты текущих точек прямой .

Пример 19. Пусть прямая задана общим уравнением: . Требуется написать ее уравнение с угловым коэффициентом.

Решение. Имеем: =.

Следовательно, угловой коэффициент равен. Очевидно,

—координаты точки, в которой прямая пересекает ось ,

—координаты точки, в которой прямая пересекает ось .

Пример 20. Описать свойства уравнений прямых на плоскости, параллельных оси .

Решение. В этом случае и. Если прямая задана своим общим уравнением , то

;

но .

Таким образом, общее уравнение любой прямой, параллельной оси , всегда имеет вид

. (7)

Уравнение такой прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

.

Итак, уравнение вида (или, в общем виде,) на плоскости описывает прямую, параллельную осии пересекающую осьв точке.

Пример 21. Описать свойства уравнений прямых на плоскости, параллельных оси .

Решение. В этом случае и . Если прямая задана своим общим уравнением , то

;

но .

Таким образом, общее уравнение любой прямой, параллельной оси , всегда имеет вид

. (8)

Это уравнение эквивалентно уравнению вида

,

где .

Итак, уравнение вида (или, в общем виде,) на плоскости описывает прямую, параллельную осии пересекающую осьв точке.

Пример 22. Четыре прямые заданы своими общими уравнениями:

: ,:,:,:.

Требуется описать взаимное расположение прямой с прямыми,и.

Решение. Прямые ипересекаются, так как существует общая точка этих прямых, координаты которой удовлетворяют уравнениям данных прямых:

Пара координат точки пересечения является единственным решением этой системы.

Ответ 1: — координаты точки пересечения прямыхи.

Ответ 2: Прямые ипараллельны.

Действительно, система

не имеет решений (прямые ине имеют общих точек):

:  =,

:  =;

и — параллельны, так как не пересекаются и имеют равные угловые коэффициенты:.

Ответ 3: Прямые исовпадают.

Действительно, система

имеет бесконечное множество решений, так как состоит из двух эквивалентных уравнений:

:  =,

:  =.

Оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

Полезно отметить, что справедливо следующее

Утверждение 9. Если две прямые заданы своими общими уравнениями и, то могут представиться три случая:

1) — прямые имеют одну общую точку;

2) — прямые параллельны;

3) — прямые совпадают.