Функциональные отношения.

Определение. Бинарное отношение заданное на множестве называется функциональным, если из всегда следует, что .

Определение. Функциональным отношением называется бинарное отношение, в котором нет двух упорядоченных пар, в которых первые координаты равны, а вторые различны.

Определение. Бинарное отношение называется функциональным на множестве , если для каждого элемента существует единственный элемент ,такое что ( .

Поскольку элемент y определяется однозначно, то будем обозначать .

Определение. Если ,то называется областью, - кообластью.

Определение. Областью определения функционального отношения называется множество всех первых координат .

Определение. Областью значения называется множество всех вторых координат .

Свойства функциональных отношений.

1

Y

X

.

2 .

Определение. Функциональное отношение называется функцией (отображением), если (если область равна области определения).

Самый прямой способ задать функцию – это задать с помощью списка значений, которые она принимает на элементах области. Например, одна из функций с областью , кообластью и образом f задается предписанием

Другая функция с образом задается предписанием

В качестве другого примера определим функцию следования Пеано , для которой множество всех положительных целых чисел является и областью и кообластью. Каждому целому положительному числу она ставит в соответствие число – функция из в . Функцию также можно задать (бесконечным) списком предписаний:

Очевидно, образом функции является множество , которое мы обозначим символом .

Итак, чтобы задать функцию необходимо определить ее область, кообласть и значения, которые она сопоставляет каждому элементу области.

Определение. Если и , то тогда и только тогда, когда для всех

Определение. Для любого множества тождественная функция отображает любой элемент области в себя: для всех В силу вышесказанного тождественные функции неравных множеств различны.

Основные свойства функциональных отношений.

(Лекция 5.)

1. Иньективность. Если из

2. Сюрьективность. Если

3. Функциональное отношение называется взаимно-однозначным, если оно инъективно и сюрьективно. Если при этом - функция то оно биективное.

Определение. Пусть функциональное отношение, тогда бинарное отношение называется инверсным, если . Бинарное отношение называется главной диагональю, если для любого .

Пример. Проверить, является ли бинарное отношение функциональным. Установить его свойства:

Решение.

1. Функциональное отношение. Из и , следует, что . и следует, что – верно.

2. – отображение.

3. - не сюрьективно.

4. Инъективность. Из и , следует, что . и следует, что – верно.

– инъективное отображение.

Свойства инверсного отношения

и главной диагонали.

Теорема. Пусть – функциональное отношение, - главная диагональ и – инверсное отношение. Тогда справедливы следующие свойства:

1. Функциональное отношение рефлексивно тогда и только тогда, когда .

2. Функциональное отношение антирефлексивно тогда и только тогда, когда .

3. Функциональное отношение симметрично тогда и только тогда, когда .

4. Функциональное отношение антисимметрично тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

1. Пусть рефлексивно, тогда с другой стороны .

2. Пусть антирефлексивно, тогда . По определению .

3. Пусть – симметрично тогда, из т.к

.

4. Пусть – антисимметрично. : . Из чего следует, что .

Композиция функциональных отношений.

Определение. Пусть и левой композицией функций и называется новая функция .

Аналогично определяется правая композиция функций.

Следствие. Если ,то , причем из ( и следует, что

Теорема. Композиция функциональных отношений подчиняется ассоциативному закону: .

Доказательство. Пусть Любому элементу обе композиции приписывают значения

Проверка каждого равенства состоит в применении определения 6.12. к той композиции, которая указана под знаком равенства.

Определение. Тождественным функциональным отношением называется такое функциональное отношение , что , .

Свойства тождественного функционального отношения.

Теорема. Пусть “º”- композиция

1. Если ,то .

2. Если , то .

3.Пусть и тогда .

Доказательство.

1. и и .

2. .

Обратные функциональные отношения.

Пусть - некоторая функция.

Определение. Функция называется левой обратной функцией, если , и правой обратной, если .

Определение. Если функция является левой и правой обратной функции , то функция называется обратимой, а функция двусторонне обратимой к . Обозначение: .

Теорема. Пусть – функция, : – обратная функция. Тогда справедливы следующие свойства:

1. .

2. .

Теорема. Функция обратима слева тогда и только тогда, когда она инъективна. Функция обратима справа тогда и только тогда, когда она сюрьективна.

Доказательство. Пусть - функция, обратная слева к . Предположим, что . Тогда

Таким образом, из предположения, что , получили, что . Это доказывает инъективность.

Проверим обратное утверждение. Требуется доказать, что если инъективна, то у нее существует левая обратная функция такая что, Для этого выберем элемент и определим следующим образом:

Тогда для всех , так что, является левой обратной к f.

Аналогично. Если и , то так что любой элемент является образом подходящего элемента и сюръективна.

Обратно, если сюрьективна, то каждый элемент является образом хотя бы одного элемента . Для каждого элемента , переходящих в , один представитель и обозначим его через . Тогда получим функцию такую, что для всех , т.е. как утверждалось.

Следствие. Функция является биекцией тогда и только тогда, когда она обратима слева и справа.

Теорема. Следующие свойства функции эквивалентны:

1. – биекция;

2. обладает левой обратной g и правой обратной h;

Если эти свойства выполняются, то

3. все обратные к функции (левые, правые и двусторонние) совпадают. Эта единственная обратная к функция биективна, и .

Доказательство. Эквивалентность свойств I. и II. является просто переформулировкой следствия. Из условия II. вытекает, что

Это показывает, что все левые и правые, обратные к f функции совпадают, и доказывает III. Наконец, биективная функция f обратна к своей обратной функции , либо и . Следовательно, обратная функция биективна и имеет в качестве своей единственной обратной, т.е. .

Аксиомы Пеано. Метод математической индукции.

Множество натуральных чисел.

(Лекция 6.)

Понятие натурального числа связано с количеством некоторой совокупности объектов.

Поскольку количество объектов можно сравнивать относительно бинарного отношения > или <, то совокупность натуральных чисел можно разместить в порядке возрастания – называется рядом натуральных чисел, тогда по отношению к ряду натуральных чисел можно задать понятие “непосредственно следовать за в натуральном ряду”.

Если n – некоторое натуральное число, то n’ – число “непосредственно следующее за n в натуральном ряду”.

Аксиома 1. Существует наименьшее натуральное число , которое непосредственно не следует ни за одним натуральным числом.

– наименьшее натуральное число такое, что для натурального числа неверно, что .

Аксиома 2. Для любого натурального числа существует единственное натуральное число, непосредственно следующее за в натуральном ряду. Для натурального числа

Аксиома 3. Для любого натурального числа существует не более одного натурального числа такого что .

Аксиома 4. (Аксиома индукции) Если - некоторое множество натуральных чисел и для выполняется и , то множество всех натуральных чисел.

Определение. Множество натуральных чисел удовлетворяющих называется множеством всех натуральных чисел и обозначается .

Принцип математической индукции.

Определение. Для некоторого утверждения натурального аргумента, множество всех натуральных чисел, для которых утверждение, верно, называется областью истинности утверждения . Обозначение: .

Если и из , то .

Метод математической индукции.

Пусть задано некоторое утверждение на множестве всех натуральных чисел, тогда требуется проверить справедливость утверждения на множестве всех натуральных чисел , для этого:

1. Проверим что - верно.

2. Полагаем что - верно.

Два вместе взятых пункта 1 и 2 называются базисом индукции

3. Индукция: Из пунктов один и два проверяем, что - верно.

Вывод. Если выполняется 1 и 3, то основе , следует, что - верно для любого .

Если определить множество натуральных чисел, которое начинается с любого другого числа кроме 1, то методом математической индукции позволяет проверять справедливость любого утверждения на этом множестве, для этого в первом пункте проверяют справедливость утверждения для наименьшего элемента рассматриваемого множества.

Пример: Доказать методом математической индукции:

.

Решение. Методом математической индукции:

1. Для : - верно.

2. Предположим, что для .

3. Проверим, что для . Так как = = .