Геометрический смысл двойного интеграла.

Рассмотрим телоV, ограниченное частью поверхности, задаваемой уравнениемz = f(x, y),проекциейD этой поверхности на плоскость Оху и боковой цилиндрической поверхно-стью, полученной из вертикальных образующих, соединяющих точки границы поверх-ности с их проекциями.

z=f(x,y)

z

V

y • P_i D Рис.2.

Будем искать объем этого тела как предел суммы объемов цилиндров, основаниями которых являются части ΔS_i областиD, а высотами – отрезки длинойf(P_i), где точкиP_i принадлежат ΔS_i. Переходя к пределу при, получим, что

(7.12)

то есть двойной интеграл представляет собой объем так называемого цилиндроида, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), а снизу – областьюD.

Лекция 8.

Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

Рассмотрим областьD, ограниченную линиямиx = a, x = b (a < b), где φ₁(х) и φ₂(х) непрерывны на [a, b]. Тогда любая прямая, параллельная координатной оси Оуи проходящая через внутреннюю точку областиD, пересекает границу области в двух точках:N₁иN₂(рис.1). Назовем такую областьправильной в на-

у правлении оси Оу. Аналогично определя-

y=φ₂(x) ется область, правильная в направлении

N₂ оси Ох. Область, правильную в направле-

нии обеих координатных осей, будем на-

D зывать просто правильной. Например,

правильная область изображена на рис.1.

y=φ₁(x)N₁

O a b x

Рис.1

Пусть функция f(x, y)непрерывна в областиD. Рассмотрим выражение

, (8.1)

называемое двукратным интеграломот функцииf(x, y)по областиD. Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по переменнойу, считаяхпостоянным. В результате получится непрерывная функция отх:

Полученную функцию проинтегрируем по хв пределах отадоb. В результате получим число

Докажем важное свойство двукратного интеграла.

Теорема 8.1. Если областьD, правильная в направлении Оу, разбита на две областиD₁иD₂прямой, параллельной оси Оуили оси Ох, то двукратный интеграл по областиD будет равен сумме таких же интегралов по областям D₁иD₂:

. (8.2)

Доказательство.

а) Пусть прямая х = с разбиваетD на D₁и D₂, правильные в направлении Оу. Тогда

+

+

б) Пусть прямая y = h разбиваетDна правильные в направлении Оуобласти D₁и D₂(рис.2). Обозначим черезM₁(a₁,h) иM₂(b₁,h) точки пересечения прямойy = h с гра-ницейLобластиD.

y ОбластьD₁ограничена непрерывными линиями

y=φ₂(x) 1) y = φ₁(x);

D₂2) кривойА₁М₁М₂В, уравнение которой запишем

h M₁M₂ y = φ₁*(x), гдеφ₁*(х) = φ₂(х) приа≤ х ≤ а₁и

A₁D₁Bb₁≤ x ≤ b,φ₁*(х) =hпри а₁≤ х ≤ b₁;

3) прямыми x = a,x = b.

Область D₂ограничена линиямиy = φ₁*(x),

A у = φ₂(х), а₁≤ х ≤ b₁.

y=φ₁(x) Применим к внутреннему интегралу теорему о

разбиении промежутка интегрирования:

O a a₁ b₁ b

Рис.2.

+

Представим второй из полученных интегралов в виде суммы:

++.

Поскольку φ₁*(х) = φ₂(х) приа≤ х ≤ а₁иb₁≤ x ≤ b, первый и третий из полученных интегралов тождественно равны нулю. Следовательно,

I_D = , то есть.

Следствие. Таким же образом можно разбить область Dна любое число правильных областей. При этом двукратный интеграл по областиDбудет равен сумме интегралов по частичным областям.

Замечание 1. Используя теорему 8.1 и теоремы о среднем для определенного интеграла, можно доказать, что для двукратного интеграла справедливы соотношения:

(8.3)

где тиМ– соответственно наименьшее и наибольшее значение функцииf(x, y) в областиD, а S – площадь этой области, и

I_D = f(P)S, (8.4)

где Р– точка, принадлежащая областиD .

Замечание 2. Более употребительной формой записи двукратного интеграла является

=(8.5)

Теорема 8.2. Двойной интеграл от непрерывной функцииf(x, y) по правильной областиD равен двукратному интегралу от этой функции по данной области, то есть

. (8.6)

Доказательство.

Разобьем область Dпрямыми, параллельными координатным осям, напправильных (в основном прямоугольных) областей ΔS₁, ΔS₂,…, ΔS_n. Тогда по теореме 8.1

.

Из (8.4) получим: , где справа стоит интегральная сумма, предел которой равен двойному интегралу отfпо областиD, а слева – постоянное числоI_D. Переходя к пределу при, получим равенство (8.6).

Пример.

Вычислим двойной интеграл от функцииz = x + y по области, представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и (1,0) (рис.3).

у Здесьа = 0,b= 1,φ₁(x) = 0, φ₂(x) = 1 –x.

Тогда

1 D

O 1 x

Рис.3.