ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ».

Кафедра математики Реферат

На тему:

«Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.»

Выполнил: ст.гр.ПБ-10-01 Фаизов В.Р.

Проверил: доцент Абзалимов Р.Р.

Уфа 2011г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Часть №1 4

Часть №2 13

Часть №3 16

Список литературы. 18

Часть №1

Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.

Частные производные первого порядка функции двух переменных

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Рис. 1

Дадим аргументу x₀ произвольное ненулевое приращение , оставляя значение аргумента y₀ неизменным, т.е. перейдем на плоскости (xOy) от точки к точке (см. рис. 1). Тогда соответствующее приращение функции

называется частным приращением функции по переменной x в точке М.

Дадим аргументу y₀ произвольное ненулевое приращение , оставляя значение аргумента x₀ фиксированным, т.е. перейдем на плоскости (xOy) от точки к точке . Тогда соответствующее приращение функции

называется частным приращением функции по переменной y в точке М.

Дадим аргументу x₀ приращение , а аргументу y₀ – приращение , т.е. перейдем на плоскости (xOy) от точки к точке . Тогда соответствующее приращение функции

называется полным приращением функции в точке М.

Частной производной функции в точке по переменной x называется предел отношения частного приращения к приращению при стремлении к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: . По определению .

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении переменной .

Геометрически частная производная по функции двух переменных в точке есть тангенс угла, который образует касательная прямая, проведенная в точке к линии пересечения поверхности с плоскостью , с положительным направлением оси , т.е. (см. рис. 3). Приращение аппликаты (третьей координаты) этой касательной, соответствующее приращению аргумента при фиксированном значении аргумента , (по аналогии с функцией одной переменной) называют частным дифференциалом функции двух переменных по переменной и обозначают . При этом (см. рис.3). Поскольку под дифференциалом аргумента понимают приращение этого аргумента (т.е. ), то .

Аналогично определяется частная производная функции по переменной в точке М и частный дифференциал .

Другие обозначения такой производной: .

Частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной, но при этом для нахождения производной надо считать y постоянной величиной, а для нахождения надо считать x постоянной величиной (константой).

Справедливы следующие правила:

Пример 1. Дана функция двух переменных: . Найти частные производные этой функции по x и y, вычислить значения найденных частных производных в точке А(-2;1).

Считая y постоянной величиной, найдем (подчеркнем все постоянные величины):

Найдем значение этой производной в точке А(-2;1):

.

Считая x постоянной величиной, найдем (подчеркнем все постоянные величины):

.

Пусть - точка, в которой у функции существует частная производная (то есть значение этой производной в точке можно вычислить). Тогда частная производная имеет следующий смысл: если значение переменной зафиксировать и не изменять, а значение переменной x увеличивать, то

Таким образом, частная производная характеризует скорость изменения функции в положительном направлении оси .

Аналогичный смысл имеет частная производная (в этом случае значение фиксируется, а переменная y увеличивается).

Дифференциал функции. Касательная плоскость.

Касательная плоскость в точке K(x₀,y₀,z₀) к графику функции – это плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности , проходящим через точку K (на рис. 5 плоскость является касательной к поверхности в точке K).

Рис. 2.

Дифференциалом функции называют приращение координаты касательной плоскости в точке к поверхности, заданной уравнением , соответствующее приращениям и аргументов функции. Дифференциал функции обозначается . На рисунке 2 показано, что

или .

Пусть - произвольная точка плоскости, касательной к поверхности в точке . Поскольку , , , из выражения для дифференциала получаем уравнение касательной плоскости:

.

Теорема: (Необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные

Теорема: (Достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой или

Отметим, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Пример 2. Для функции (см. пример 1) дифференциал в точке А(-2;1) равен . Вычислив значение функции , можно составить уравнение касательной плоскости в точке А(-2;1) к графику данной функции:

или .

Полный дифференциал функции многих переменных

1. .

Опр. 1. Функцию называют дифференцируемой во внутренней точке , если приращение функции в этой точке можно представить в следующем виде:

где конечные константы, (1)

Опр. 2. Если дифференцируема в , то главная линейная часть ее приращения называется дифференциалом функции в точке и обозначается

Итак, (2)

Теорема 1. Если дифференцируема в , то в этой точке существуют и конечны все частные производные , причем они равны .

Таким образом, если функция дифференцируема, то, условившись приращения независимых переменных обозначать и называть их дифференциалами, для дифференциала функции согласно (2) и теореме получаем:

(3)

Дифференциал применяется в приближенных вычислениях: если функция - линейная, то приращение функции , если же функция - нелинейная, то при малых приращениях аргументов и .

Пример 3. Вычислить: .

Рассмотрим функцию . Требуется найти значение этой функции при x=1,02 и y=3,04. Поскольку и , то выберем начальные значения аргументов следующим образом: и (при этом ) и дадим аргументам малые приращения и . Тогда

.

Найдем частные производные:

, .

Вычислим значения частных производных в точке , то есть в точке (1; 3): , . Тогда .