Вопросы, 1 семестр
1 Определители(определение и свойства)
2 Правило Крамера
3 Ранг матрицы, теорема о базисном миноре
и теорема Кронекера-Капели
4 Обратная матрица
5 Деление отрезка в заданном отношении
6 Скалярное произведение векторов
7 Векторное произведение векторов
8 Смешанное произведение векторов
9 Прямая на плоскости, пучок, общее уравнение,
в отрезках и с угловым коэфф.
10 Прямая на плоскости, каноническое уравнение,
параметрическая форма и через 2 точки
11 Нормальное уравнение прямой на плоскости
12 Угол между прямыми на плоскости
13 Расстояние от точки до прямой и между
параллельными прямыми на плоскости
14 Плоскость в R3
15 Взаимное расположение двух плоскостей в R3
16 Прямая в пространстве
17 Взаимное расположение двух прямых в R3
18 Взаимное расположение прямой и плоскости в R3
19 Эллипс
20 Гипербола
21 Парабола
22 ЭГП в полярных координатах
23 Предел последовательности,
единственность и ограниченность
24 Арифм. свойства предела последовательности
25 Число e
26 Предел функции, арифм. свойства
27
Первый замечательный предел
28 Непрерывность и разрывы функций
29 Свойства функций непрерывных на отрезке
30 Производная суммы и произведения
31 Производная частного двух функций
32 Производная степенной функций.
33 Производная показательной функции и логарифмической
34 Производные тригонометрических функций
35 Производные обратных тригонометрических функций
36 Теорема Роля
37 Теоремы Лагранжа и Коши
38 Теорема о монотонности, достаточные условия экстремума,
39 Выпуклость и перегиб, достаточные условия
40 Асимптоты функции
41 Необходимые условия дифференцируемости фмп
42 Дифференцирование сложных фмп
43 Повторное дифференцирование фмп
44 Производная по направлению и градиент
45 Касательная плоскость и нормаль к поверхности в R3
46 Экстремум функции двух переменных
Определители, линейные системы и матрицы
Определение det ...
Свойства det
1) Линейность: det−лин. фун. любой строки;
2) Антисимметрия: при перестановке двух строк det меняет знак;
3) Нормировка: det(E)=1;
4) если одна из строк = лин. комб. других, то det=0, обратное тоже верно;
5) det не меняется если к одной из строк + лин. комб. других;
6) det( AT)=det(A), т.о. указанные свойства имеют место и для столбцов: det−лин. фун. столбца и т. д.
Вычисление det
1)
алгебр. доп. элем. det
2) Разложение det по строке (столбцу):
3) Алгебр. дополнения соседних строк и столбцов:
Правило Крамера
Пусть
–кв.
сист. n-го
порядка и ∆=det(A)≠0,
тогда сист. имеет ед. решение, которое
можно получить по формулам Крамера:
,
,
где
получен из ∆ замещением k–го
столбца свободным B.
Ранг матрицы и базисный минор
Рангом матр. A наз. число r(A)–наиб. порядок ≠0 минора; такой минор наз. базисным; строки и столбцы матр. входящие в этот минор тоже наз. базисными;
Теорема о базисном миноре. Каждая строка матрицы = лин. комбинации базисных строк, тоже самое верно и для столбцов;
Линейные системы общего вида
1 Определения. Лин. сист. mn, решение, совместность, несовместность, определенность и неопределенность
2 Теорема К/К . Лин. mn сист. совместна r(A)=r(A), при этом, если
r(A)=n, то сист. определенная, иначе неопределенная.
3 Метод базисного минора
4 Однородные системы
Операции над матрицами
Определения
1
Сумма матриц
2
Произведение числа на матрицу
3
Произведение матриц
Свойства операций над матрицами
1
,
2
,
,
3
,
4
5 В общем случае AB≠BA, пример
Обратная матрица
1
Свойство единичной матр. :
2
Определение.
наз. обратной к
если
,
3 Единственность: если B тоже обратная, то B=B(AB)=(BA)B=B
4
Теорема. Обратная
det(A)≠0,
при этом
Решение системы с помощью обратной матрицы
–квадратная сист. и det(A)≠0 X=A–1B
Метод Гаусса
Приведение сист. к треугольной форме элем. преобразованиями над строками расширенной матрицы:
1 перестановка двух строк,
2 умножение строки на число 0,
3 прибавление к строке любой другой.
Векторная алгебра
Основ.
понятия. Вектор,
его длина, нулевой вектор, равенство
векторов,
−сумма векторов,
−произведение числа на вектор.
Основ. группа алгебр. законов:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Базис
и координаты. Векторы
в простр. обладают важным свойством:
три вектора
такие что
однозначно представляется в виде лин.
комб.
. Такая тройка векторов наз. аффинным
базисом, и в качестве такого базиса
может выступать
тройка некомпл. векторов.
Числа
наз. коорд. вектора
в базисе
. Мы будем иметь дело только с ОНБ, его
векторы единичные и попарно ,
это векторы
.
На пл. пара не параллельных векторов образует аффинный базис.
Теорема(о роли координат)
1)
2)
3)
коорд.
наследуют алгебр. структуру векторов
и при заданном базисе вектор неотличим
от коорд.:
Радиус
вектор точки. Сист.
коорд.:
– аффинная;
– прямоугольная; коорд. т. = коорд. радиуса
вектора т. в заданной системе: пишут
если
вектор
Пример:
т. пересечения медиан треугольника :
Деление
отрезка в заданном отношении. т.
M
делит отрезок
в отношении
если
.
Скалярное произведение
Определение
Свойства
Вычисления в ОНБ
1)
скалярное произведение;
2)
вектор;
3)
дл. вектора;
4)
угол между векторами;
5)
расстояние между точками
и
;
6)
проекция
на
;
7)
орт вектора;
Векторное произведение
Опр.
,
,
тройка
правая
Св.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
Примеры:
сила Лоренца ,
лин. скорость ,
момент силы,
момент количества движения,
теорема синусов (доказательство)
Вычисление в ОНБ, формальный det
Пл. треугольника.
Двойное
векторное произведение
Смешанное произведение
Опр.
= ориентированный
объем клетки.
Свойства: 1) цикл. перест., 2) антисим. и 3) условие компланарности
Выч. в ОНБ
Пл. треугольника
Аналитическая геометрия
Прямая (L) в R2
1 Определение L через норм. вектор
2 Пучок, общее, в отрезках, с угловым коэфф.
3 Определение L через направляющий вектор
4 Канонич. ур., парам. форма , через 2 точки
5 Нормальное ур. L
6 Угол между двумя прямыми
7 Расстояние от точки до L
8 Взаимное расположение двух прямых в r2
9 Расстояние между параллельными прямыми
Плоскость в R3
1 Определение пл. через норм. вектор
2 Различные ур. пл.: связка, общее, в отрезках, норм.
3 Пл. через 3 точки
4 Две пл. в R3 угол, и параллельность
5 Расстояние от точки до пл.
6 Расстояние между параллельными пл.
Прямая (L) в R3
1 Определение L через направляющий вектор
2 Различные формы L: канонич., общая, парам., через две точки
3 Переход от общей формы к канонич. (1019)
4 Расстояние от точки до L (1063)
5 Две прямые (1026, 1083)
6 Прямая и пл. (1040)
Кривые 2го порядка на R2
1 Эллипс, канонич. ур., форма, директрисы и эксцентр.
2 Гипербола, канонич. ур., форма, ас., директрисы и эксцентр.
3 Парабола, канонич. ур. и форма
4 Эгп в полярных координатах
***** 5 Повороты сист. коорд. на пл.
****** Начальные сведения по лин. алгебре
1 Определение. Множ. L наз. линейным пространством если для всех элем. L определены операции сложения элем. и умножения на числа и эти операции подчиняются основ. группе алгебр. законов. В каждом ЛП определена лин. комб. элементов.
Пр. Rn множ. всех упорядоченных наборов из n действительных чисел.
2 Лин. завис. и незав.
1) Опр. лин. завис. и незав. набора элем.
2) Т. Набор элем. лин. зависим один из элем. = лин. комб. других
Пр.: коллин. и комплан.
3 Базис и коорд.
1) Опр. Лин. незав. набор e1 , e2 , ... en элем. L наз. базисом L , если
XL = лин. комб. элем. базиса, X = x1 e1 +...+ xn en , при этом равенство наз. разл. X по базису e1 , e2 , ... en , а числа xi наз. коорд. X в базисе.
2) Т. Разл. X по базису единственно.
3) Роль коорд. При сложении элем. их коорд. складываются, а при умножении на число коорд. умножаются на это число.
4 Размерность L
1) ЛП наз. n-мерным, если оно содержит n лин. незав. элем., а n+1 элем. лин. завис., n наз. размерностью L , n=dim(L).
2) Если dim(L)=n, то n лин. незав. элем. образуют базис L.
3) Если базис L состоит из n элем., то dim(L)=n.
5 Преобразование коорд.
Введение в анализ
Предел послед.
1 Определения. Последовательность, ограниченность, предел
Послед.
наз. ограниченной если существует число
M:
2
Единственность предела:
3 Огранич. сх. послед.
4 Арифм. св. сх. послед.
1)
,
2)
,
3)
5
Принцип Коши
сх.
6 Монотонные и огранич. последовательности.
7
Число
8
Т. о сжатой послед.:
Предел функции
1
Опр. Пусть
задана на E
и x0
предельная т. E,
если
такое что
,
для которых
и
,
выполн. неравенство
,
иногда пишут так
.
Равносильное опр. по Гейне с помощью послед.:
послед.
2.
Арифм. свойства.
Пусть
1)
,
2)
,
3)
3.
Т. о трех фун.
,
4.
Первый зам. предел
5.
Второй зам. предел
6. БМ и ББ величины, свойства и сравнение
Непр. фун. в точке
1
Опр. f
непр. в т.
если
2 Арифм. свойства непр., сложные функции
4 Элементарные функции
5
Замечательные пределы:
,
,
,
их использование при вычислении пределов.
6 Точки разрыва
Свойства фун. непр. на отрезке
1 Нули и промежуточные значения
2 Огранич. и достижимость граней (наибольшее и наименьшее знач.)
Производная
1 Опр. и связь с непр.
Пр.
Если дифф. в т. x , то она непр. в этой т.
2 Правила дифф.
линейность производной
3 Производная сложной фун.
4 Производная обратной фун
5 Таблица производных
6 Логарифмическое дифф
7 Задача о касательной
8 Производная неявной фун.
9 Производная парам. фун.
Дифференциал
Определение
Пусть
,
наз. дифф. в т. x0
, если ее приращение в этой т. имеет вид
,
гл. лин. часть наз. дифференциалом:
.
Теорема
дифф. в т. x0
имеет производную в т. x0
, при этом
Т.о.
, геометрически
=приращению
ординаты вдоль касат. в т
.
Частный случай
приводит к равенству
:
дифф. независимой переменной =ее
приращению и тогда
.
Свойства d (правила выч.)
1)
=
2)
=
3)
=
Инвариантность формы d.
Пусть
, тогда
,
если
и
,то
d
сохраняет форму при замене переменной.
Приложение
основано
на соотношении
.
Способ
получения приближенных формул
Пр.
Пр.
Производные и дифференциалы высших порядков
Повторное дифф. явных, неявных и парам. фун.
Пр.
Пусть
,
по опр.
.
при
n
≥ 2 не сохраняет форму: если
,
и
,
то
=
=
в общем случае.
Однако, если замена лин.,
,
то
и
форма
сохраняется
.
Теоремы о дифф. фун.
Определение.
наз т. макс.
если
из некоторой окр.
т.
,
наз. макс. значением. Сходным образом
вводится т. мин. и мин. значение. Экстремум
означает мин. или макс.
1.Т.
о гл. экстр. Ферма
диф. в т. x0
и имеет там экстр. 
2.Т.
Ролля
непр. на
, диф. на
и
3.Т.
Лагранжа
непр. на
и диф. на
4.Т.
Коши
и g
непр. на
, диф.
на
,
5.Т.
Лопиталя. Пусть
и g
диф. на
,
(
),
,
6.
Формула Тейлора. Пусть
,
непр. на
,
на
и
:
Исследование функции с помощью производной
Монотонность и экстр.
1. Опр. Возраст. и убыв. фун. на интервале, макс. и мин., стац. точки.
Замеч. по т. Ферма т. гладкого экстр. есть стац. точка, обратное не верно
(куб. парабола);
2. Теорема о монот. Пусть дифф. на ,
(1)
на
(2)
на
Зам.
f
строго
и
сплошь на
промежутке.
3. Достаточные условия экстр.
1-е.
Пусть
дифф. в окр. стац. т. x0
, и
меняет знак при
переходе через x0
, тогда x0
т. экстр.
Замеч.
на самом деле
может не существовать.
2-е.
Пусть
дифф. в окр. стац. т. x0
, и
,
тогда x0
т. экстр., max
при
и min
при
.
Пр.
3-е.
Пусть n
≥ 2 ,
,
а
.
Если n четное, то x0 т. экстр., если n нечетное, то в т. x0 нет экстр..
Док.
из ф. Тейлора
, если n
чет., то
не
меняет знак при переходе через x0
, и там есть экстр., если n
нечет., то
меняет знак, и там
экстр. нет, все!
Примеры
нет экстр.,
,
есть экстр.
4. Наибольшее и наименьшее значения.
1)
2)
3)
Выпуклость и перегиб
1. Опр. Пусть фун. непр. на ,
она
наз. вып. вниз на
если
и
она наз. вып. вверх на
если
.
x0 наз. т. перегиба если при переходе через эту т. фун. меняет направление вып., при этом удобно предполагать наличие конечной или бесконечной производной в самой т. x0 .
2. Выпуклость и производная. Пусть дифф. на ,
1) вып. вниз на на ;
2) вып. вверх на на ;
3. Дост. условия вып. Пусть дважды дифф. на ,
1)
если
на
,
то
вып. вниз на
2)
если
на
,
то
вып. вверх на
док. формула Тейлора 1-го порядка с остатком в форме Лагранжа.
4. Дост. условие перегиба
Пусть
меняет
знак при переходе через т. x0
, а в самой т. x0
непр. и имеет там конечную или бесконечную
производную
, тогда x0
т. перегиба
Асимптоты
Различают 3 вида ас.: верт., накл. и гориз.
1)
L:
верт. ас.
или
2)
L:
накл. ас.
на
3)
L:
гориз. ас.
на
Схема исследования функции
1) ООФ
2) Пересечение с координатными прямыми
3) Асимптоты
4) Монотонность и экстремум
5) Выпуклость и перегиб
6) График
Пр.:
ФМП
Невырожденные поверх. 2-го порядка
эллипсоид 1)
гиперболоиды 2)
3)
конус 4)
параболоиды 5)
6)
цилиндры 7)
8)
9)
Понятие
фмп. Обозначим
через
множ.
всех упорядоченных пар действительных
чисел; так что
элемент из
имеет
вид
,
.
Пусть
,
фун. двух переменных наз. правило
,
которое
ставит в соответствие
опред. число
,
при этом
наз. обл. опр.
.
Пр.
;
;
Подобным образом опр. фун. трех переменных
Пр.
;
;
Предел и непрерывность.
Открытым
кругом в
с центром в т.
и радиуса r
наз. множ.
всех
для которых
,
такой круг наз. окр. т.
радиуса r.
Пусть
,
наз. предельной т.
если
ее окр. содержит т. из
отличную от
.
Число
наз. пределом
в т.
:
если
>0
:
как только
и
.
Пр.
,
,
,
Фун.
f
наз. непр. в т.
если она опр. в т.
и
Частные производные и дифференциал
1
ЧП. Пусть
фун. 2-х переменных, частной производной
(1-го порядка) f
в т.
по x
наз. число
если предел
, ЧП обозначают так
,
если
,
сходным образом вводится ЧП
.
ЧП выч. по обычным правилам и формулам дифф., надо лишь учитывать что при выч. ЧП по x величина y=const, и наоборот x=const когда берется ЧП по y.
2
Дифференциал. Пусть
,
она
наз. дифф. в т.
если ее приращение
,
гл.
часть
лин.
относительно
и
наз. дифференциалом и обозначается
.
Пр.
(вычислить!)
Теорема 1(необх. условие дифф.)
дифф.
в т.
непр.
в т.
и
,
.
Пр.
Теорема 2(дост. условие дифф.)
и
непр. в т.
диф. в т.
Свойства d
Приложение d
основано
на соотношении
:
Пр.
3 Дифференцирование сложных функций
(A) Пусть 1) дифф. в т.
2)
дифф. в т. t0
3)
4)
h
дифф. в т. t
0
и
(B) Пусть 1) дифф. в т.
2)
дифф.
в т.
3)
4)
h
дифф. в т.
и
,
Инвариантность формы дифференциала.
Пр.
4 Повторное дифференцирование.
Опред. ЧП 2-го порядка наз. ЧП от ЧП 1-го порядка.
Пр.
,
оператор Лапласа u=0.
Пусть
, тогда можно образовать 4 ЧП 2го
порядка:
Теорема
там, где они непрерывные
док.
берем
=
,
дважды
применяем формулу Лагранжа и переходим
к пределу
.
если ЧП 2го порядка фун. n переменных непр., то их всего n(n+1)/2
Опред.
Пусть
,
=