Подмножества. Свойства отношения включения. Понятие булеана.

Множество (неопределяемое понятие) – совокупность предметов, объединенных в одну какую-л группу (прописными буквами ла­тинского алфавита: А, В, С, ... , Z).

Множество В явл-ся подмн-вом мн-ва А, если кажд эл-т мн-ва В явля­ется также эл-том мн-ва А. Пустое мн-во считают подм-вом любого мн-ва. Любое мн-во – подмн-во самого себя. (ВА).

В: «Мн-во учеников в классе»

А: «Мн-во учеников в этом классе с короткой стрижкой». АВ.

Теорема о cв-вах отношения включения ().

1º А

2ºАА

3º Если АВ и ВС, то АС (транзитивность)

Док-во 3º: Условие: АВ, ВС.

Возьмем аА Т.к. АВ, аВ (явл-ся Эл-том мн-ва В)

Т.к. ВС, аС. Значит АС.

4º критерий (необходимый и достаточный признак) равенства мн-в А=В iff АВ и ВА.

Док-во обратного утв-я от противного. Если бы АВ, то например, в А есть эл-т а, который не явл-ся эл-том В. Но это не противоречит условию АВ.

Если АВ, то в В есть Эл-т, которого нет в А.

Буль Джордж (1815-1864)

Опр.: Булеан множества А – это множ-во ß(А), состоящее изо всех подмножеств множ-ва А.

Exx: 1)Для А= его численность |A|=0, а булеан ß(А)={ }- состоит из 1 эл-та –пустого множества

2) Для А={1}, |A|=1, ß(А)={ , {1}} , 3) Для А={1,2}, |A|=2, ß(А)={ , {1}, {2}, {1,2}} , 4) Для А={1,2, 3}, |A|=3, ß(А)={ , {1}, {2},{3},{1,2}, {2,3}, {1,3},{1,2,3}} состоит из 8 эл-ов.

Теорема о числ-ти булеана: | ß(А)|=2 в степени |А| , Док-во: Пусть |А| =n. Введем описание подмножества в виде поломки из n клеточек (В кажд. клетке либо 1 либо 2. 3 кл-ки-2 в 3-ейстепени=8 способов заполнения)

При помощи нулей и единиц можно описать любое подмножество. Например: все нули-это пустое подмножество, все единицы- само множ-во А. Единица но 1-ом месте, остальные нули – это {a с индексом 1}. Ск-ко описаний, столько и подмножеств, а их число (описаний) равно 2в степени n, т. к. каждую клеточку можно заполнить 2-мя способами.

Операции над множествами : объединение, пересечение, вычитание, дополнение, симметрическое вычитание, декартово умножение.

Множество (неопределяемое понятие) – сов-ть предметов, объединенных в одну какую-л группу.

Мн-во В явл-ся подмн-вом мн-ва А, если кажд эл-т мн-ва В явл-ся также эл-ом мн-ва А.  считают подм-вом любого мн-ва. Любое мн-во – подмн-во самого себя. (ВА).В: «На 4 и 5» А: «с коротк стрижкой».

Пересеченuем мн-в А u В наз мн-во, содержащее те u только те эл-ты, кот прuнадлежат мн-ву А u мн В.

А В = {х I х Е А и х Е В}.Если изобраз мн-ва А и В с пом кругов Эйлера, то -ем дан мн-в явл заштрих обл.

в том случ, когда мн-ва А и В не им общих эл-тов, говорят, что их -е пусто: А  В = .

А – мн-во четн натур чисел В – мн-во двузн чисел.

Ха­рактеристическое св-во эл-тов мн-ва А-«быть четн натур числом»,В - «быть двузн числом».Т.О, мн-во

А  В сост из четн двузн чисел. Полученное мн-во не пусто.Н-р, 24  АВ, п.ч. число 24 четн и двузн.

А-мн-во всех ромбов, В –прямоуг. АВ-квадратов.

Теорема о cв-вах пересечения.

1ºАВ=ВА (коммутат) 2º(АВ)С=А(ВС) (асс)

3º АА=А (идемпотентность) 4º А=

5ºЕсли АВ, то АВ=А (меньшему из них)

6º (АВ) С=(АС)(ВС) (дистрибутивность -я отн-но объединения) 7º (АВ) С=(АС)  (ВС)

8º(АВ) А=А 9º (АВ) В=А }з-ны поглощения

Объединением мн-в А и В наз мн-во, содержащее те и только те эл-ты, кот принадл хотя бы 1 из этих мн-в.

А= {1,2,3} В={3,4,5}

АВ={1,2,3,4,5}Эл-т не может встречаться дважды.

А=N, В={0} АВ= N0 -мн-во целых неотриц чисел.

Теорема о cв-вах объединения.

1ºАВ= ВА (коммут) 2º(АВ) С=А(ВС) (асс)

3º АА=А (идемпотентность) 4º А=А

5º Если АВ, то АВ=В (большему из них)

Док-во 5º: Усл: АВ Док-ть АВ=В Докажем сначала, что В АВ – это очевидно (по опр.),

Докажем обратное вкл-е: АВВ. Пусть х АВ, тогда хА или хВ. Если хА, то с учетом дано хВ.

Если хВ, то хВ. Во всех случаях х явл-ся эл-том В (хВ) ч.т.д.По критерию равенства мн-в АВ=В ч.т.д.

Разностью (А\В) мн-в А и В наз А\В состоящая из тех и только тех эл-тов мн-ва А, кот. не явл-ся эл-тами В.

Теорема о cв-вах вычитания.

1º А\ =А ( – прав нейтральный эл-т вычитания)

2º \ А= 3º А\А= 4ºА\В=А\(АВ)

5ºА\ (АВ)= 6º А\ (А\В)= АВ=В\ (В\А)

7º А\ (В\А)=А 8º (А\ В) А, (А\В) В=АВ.

Симметрической разностью мн-в А и В наз мн-во АВ, состоящее из тех и только тех эл-тов, которые или мн-ву А или мн-ву В.

Теорема о cв-вах симм. вычит.

1ºАВ=ВА 2º(АВ)С=А(ВС) (ассоц)

3ºАА= 4ºА=А 5ºА (АВ)=В

6º АВ = (АВ)\ (АВ)=(А\ В)  (В\ А)

Дополнением мн-ва В до мн-ва А наз мн-во, содерж те и только те эл-ты мн-ва А, кот не принадлеж мн-ву В.

Дополнение мн-ва до универсального.

Пусть U- универсальное мн-во. Все мн-ва его подмн-ва. Тогда для подмн-ва универсального мн-ва U его дополнением Ā наз Ā= U\А.

Теорема о cв-вах дополнения.

1º двойное отрицание А=А (инволютивность)

2º отрицание АВ= Ā  отрицание В }з-ны

3º А  В= Ā  отрицание В де Моргана

4º А  Ā = U 5º  = U 6º отрицание U = 

Декартовым умножением мн-в А и В наз мн-во АВ, состоящее из всех упорядоченных пар (а,b), где а А, bВ. Можно перечислить пары или взять 2 мн-ва.

А={2,3,5} В = {-1, 0,4,6} АВ = {(2,-1), (2,0), (2,4), (2,6), (3,-1), (3,0), (3,4), (3,6), (5,-1), (5,0), (5,4), (5,6) }.

Изображение декартова произведения числовых множеств.

Из фотографий лекций – рис 27

Теоремы о численности множеств. Задачи.

Т еорема: (для 2-х множеств) | AUB|+ |AUB|=|A|+|B|. Док-во: Если сложитьA| и |B|, то сумма будет больше | AUB| на | AUB|, т.к. эл-ты пересечения были сосчитаны дважды.

Теорема для 3-х множеств: |AUBUC|=|A|+|B|+|C|- |A B|-|B C|-|C A|+|A B C|

Д оказательство:Если сложить ||A|, |B|, |C|, то сумма будет больше модуля |AUBUC| на |A B|+|B C|+|C A| поэтому эту сумму надо вычесть. Однако при этом элементы из А B C не будут учтены ни разу(сначала их трижды сосчитали, а потом вычли), поэтому надо прибавить ||A B C|, тогда получим |AUBUC|.

Задача: В группе 30 человек, кот-е изучают английский, немецкий, французский и китайский языки. 15 чел. изучают англ. яз., 14 –нем., 13-французский. Англ. и нем. изучают 9, нем. и фр.-8, фр. и англ. -7 чел. , 3-е изучают 3 эти языка (англ., нем., фр.) Есть ли студенты, изучающие только немецкий? Только китайский язык? Сколько их? А также изучающих по одному или по 2 европейских языка? По одному языку? Решение: 30.

Замечание: можно понимать, что 9 человек изучают англ. и нем. без фр. , а можно с францезским.

В 1-ом случае (рис. выше): 9,8,7,3. Во 2-м случае- что же делать?(будем писать в центре 3, а дальше 6, 5, 4). Мы заметим, что 1-ый случай не может иметь места.(условие можно понимать только как 2-ой случай). Т.о. Т.к. |E D|=9,то |E D не F|=9-3=6(чел. изучают англ. и нем. и не изучают французский).

Аналогично |D F не Е|=8-3=5(изуч. нем. и фр. но не изуч. англ. яз.), |F E не D|=7-3=4(не изуч. нем.)

После этого ищем тех, кто изучает только английский: |E неD не F|=15-(6+4+3) = 2, только немецкий язык:

|D не F не Е|=14-6-5-3=0-таких студентов нет. Изучающие только французский: | F не D не Е|=13-4-5-3=1.

После этого находим: |не E неD не F|=30-15-1-0-5=9- они изучают китайский язык. Только нем. не изучает никто.

Тождественные преобразования в алгебре множеств.

Основные понятия. Примеры.

Говорят, что между мно-вами А и В задано соответствие f, если хотя бы одному элементу из А соответствует что-то из В.

a f b (b=f(a), a→b). элементу а из А по закону f соответствует b из В.

Множество всех преобразований называется областью определения соответствия f и обозначается D(f).

Г раф соответствия f – это

Мы видим, что 1 f a, 1 →б, б=f(3), 3fг, 4fд, а также, что D(f) = {1,3,4}, E(f) = {а, б, г, д}.

Понятно, что (область определения часть) D(f) c A, E(f) c B.

График соответствия f – это множество G(f) всех пар вида (a.b), где a f b. Понятно, что G(f) c AxB

У нас G(f) = {(1,a), (2, б), (3, г), (4, д)}

Частные виды соответствий: всюду определённые, сюръекции, функции, инъекции (а также отображения и биекции). Особенности графов и матриц.

Обратные соответствие f ^-1 и его свойства.

О композиции f о g соответствий f и g. Ассоциативность композиций.

Примеры биекций . свойства биекций.

Определения. 1) Если f одновременно всюду определено и функция, то f – отображением A в B. (На графе: из каждой точки A только одна стрелка. f – всюду определенное (D(f)=A. На графе: из каждой точки A должна выходить хотя бы одна стрелка.)).

2) Соответствие f – биекция (f одновременно сюръекция, функция и инъекция (равночисленность множеств). f – сюръекция (E(f)=B. На графе: к каждой точке B должна подходить хотя бы одна стрелка). f – функция (у каждого элемента из A не более одного образа в B (1 или 0). На графе: из каждой точки A выходит не более 1 стрелки). f – инъекция (у каждого элемента из B не более 1 прообраза в A. На графе: к каждой точке B подходит не более 1 стрелки).).

Примеры биекции: 1) Если f – биекция между конечными множествами A и B, то можно понять, что эти множества должны быть равночисленными (|A|=|B|).

2) N: 1, 2, 3, 4, 5, …; N₀: 0, 1, 2, 3, 4, …; f(n)=n-1 (биекция) не трудно убедиться, что f – биекция, проверяем является ли оно сюръекцией, функцией и инъекцией).

3) N: 1, 2, 3, 4, 5, …; N₂: 2, 4, 6, 8, 10, …; f(n)=2n (биекция)

4) N и веревка с узлами. Биекция между N и узлами этой веревки устанавливается легко.