Вариант 4

Часть 2

C1 Решите уравнение

Ответ: , где

Решение:

Баллы	Критерии оценивания задания С1
2	Обоснованно получен правильный ответ
1	Верно составлена равносильная исходному уравнению система условий, все тригонометрические уравнения решены верно, но или не произведён отбор найденных решений или допущены ошибки в отборе решений
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Примечание: любая ошибка в решении уравнения оценивается в 0 баллов.

C2 В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ , все ребра которой равны, найдите угол между прямыми КМ и ТЕ , где точка К – середина ребра АА₁ , точка М – середина ребра АВ , точка Т – середина ребра А₁ В₁ , а точка Е – середина ребра СС₁ .

Ответ:

Решение: обозначим через Р середину ребра ВВ₁ , прямая ТР параллельна КМ , поэтому искомый угол равен углу ЕТР . Пусть ребро призмы равно а , тогда

Проведем ЕН перпендикулярно РТ.

Баллы	Критерии оценивания задания С2
2	Обоснованно получен правильный ответ
1	Способ нахождения искомого угла правильный, но получен неверный ответ или решение не закончено
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C3 Решите систему неравенств

Ответ:

Решение: найдём ОДЗ исходной системы неравенств. Первое неравенство перепишем в виде . Возведём обе части в квадрат: . С учётом ОДЗ получим: . Второе неравенство перепишем в виде . С учётом ОДЗ получим:

. Решением исходной системы неравенств будет промежуток .

Баллы	Критерии оценивания задания С3
3	Обоснованно получен правильный ответ
2	Все шаги решения выполнены. Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы, но при в целом правильном решении другого неравенства исходной системы допущена одна вычислительная ошибка
1	Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C4 В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС , причём АК : КС = 2 : 3 . Точка М делит сторону АВ на два отрезка, один из которых вдвое больше другого. Прямая, проходящая через точку М параллельно ВС , пересекает прямую ВК в точке Р . Найдите отношение ВР : КР .

Ответ: 5 : 4 или 10 : 1

Решение:

1-й случай. Пусть АМ : МВ = 2 : 1 . Обозначим МВ = b , АК = 2а . Тогда АМ = 2b , и КС = 3а . Пусть МТ параллельно ВС , точка Т лежит на АС . Тогда АТ : ТС = АМ : МВ = 2 : 1 , поэтому АТ = , ТС = и КТ = . Поэтому ВР : КР = ТС : КТ = 5 : 4 .

2-й случай. Пусть АМ : МВ = 1 : 2 . Обозначим АМ = b , АК = 2а . Тогда ВМ = 2b , и КС = 3а . Пусть МТ параллельно ВС , точка Т лежит на АС . Тогда АТ : ТС = АМ : МВ = 1 : 2 , поэтому АТ = , ТС = и КТ = . Поэтому ВР : КР = ТС : КТ = 10 : 1 .

Баллы	Критерии оценивания задания С4
3	В приведённом решении рассмотрены оба случая, и в каждом из них обоснованно получен верный ответ
2	В приведённом решении только в одном случае дано обоснование и получен верный ответ
1	В приведённом решении рассмотрен только один случай, при этом не дано обоснование или допущена вычислительная ошибка
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C5 Найдите все значения параметра а , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.

Ответ: или

Решение: раскроем модуль и преобразуем исходную систему уравнений. Получим:

.

Условия задают на координатной плоскости «уголок» с вершиной в точке (3 , 2) и лучами и , идущими вправо от точки (3 , 2) . Уравнение задаёт прямую, проходящую через точку (5 , 6) с угловым коэффициентом а . Поэтому исходная система уравнений имеет единственное решение тогда, когда прямая проходит через вершину (3 , 2) «уголка», или когда прямая пересекает ровно один из лучей «уголка». Первому случаю соответствует , а второму – условие .

Баллы	Критерии оценивания задания С5
4	Обоснованно получен правильный ответ
3	Решение в целом верное и обоснованное, но допущена одна вычислительная ошибка или описка
2	Ход решения в целом верный, но в решении содержатся существенные ошибки (например, не рассмотрен случай )
1	Имеется некоторое существенное продвижение в решении задачи (например, дана геометрическая интерпретация обоих уравнений системы)
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C6 Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:

а) найдётся ли такая арифметическая прогрессия из четырёх различных целых чисел, что некоторые её три члена, будучи расположены в определённом порядке, образуют геометрическую прогрессию?

б) найдутся ли пять различных целых чисел, четыре из которых, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а другие четыре из этих пяти, будучи расположены в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию?

в) найдутся ли четыре различных целых числа, которые, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а будучи расположены в некотором другом порядке, образуют геометрическую прогрессию?

Ответ: а) да ; б) да ; в) нет

Решение:

а) да, например, числа -2 , 1 , 4 , 7 образуют арифметическую прогрессию, а числа 1 , -2 , 4 образуют арифметическую прогрессию.

б) да, например, числа -8 , -2 , 1 , 4 , 10 . Причём числа -8 , -2 , 4 , 10 образуют арифметическую прогрессию, а числа 1 , -2 , 4 , -8 образуют геометрическую прогрессию.

в) нет. Действительно, пусть четыре целых числа, расположенные в определённом порядке, образуют геометрическую прогрессию. Тогда знаменатель этой прогрессии является рациональным числом, а сама последовательность имеет вид: , , , , где , , причём числа m и n не имеют общих делителей, а число k делится нацело на , . Но целые числа , , , ни в каком порядке не могут образовывать арифметическую прогрессию. Это следует из того, что сумма любых двух из них не равна сумме двух других, так как , и (в каждом из случаев три числа делятся на m , а одно не делится).

Баллы	Критерии оценивания задания С6
4	Даны вполне обоснованные ответы на все три вопроса
3	Даны обоснованные ответы на все три вопроса, но при ответе на вопрос в) допущена неточность в обосновании
2	Даны обоснованные ответы на два вопроса
1	Дан обоснованный ответ на один из вопросов
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

13