
Вариант 2
Часть 2
C1
Решите
уравнение
Ответ:
, где
Решение:
,
где
Баллы |
Критерии оценивания задания С1 |
2 |
Обоснованно получен правильный ответ |
1 |
Верно составлена равносильная исходному уравнению система условий, все тригонометрические уравнения решены верно, но или не произведён отбор найденных решений или допущены ошибки в отборе решений |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
Примечание:
любая ошибка в решении уравнения
оценивается в 0 баллов.
C2 В прямоугольном параллелепипеде АВСТА1В1С1Т1 с рёбрами АВ = АТ = 12 и АА1 = 3 найдите расстояние от точки А до плоскости А1ВТ .
Ответ:
Решение. Обозначим
через О точку пересечения диагоналей
основания АВСТ . АО
ВТ , так как АВСТ – квадрат,
по теореме о трех перпендикулярах,
поэтому ВТ перпендикулярна плоскости
. Проведем АН
,
тогда АН
плоскости
,
АН – искомое расстояние.
Баллы |
Критерии оценивания задания С2 |
2 |
Обоснованно получен правильный ответ |
1 |
Способ нахождения искомого угла правильный, но получен неверный ответ или решение не закончено |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
C3
Решите
систему неравенств
Ответ:
Решение:
рассмотрим первое неравенство системы.
Введем новую переменную
.
Получаем
неравенство
.
Следовательно,
и
.
При
второе неравенство системы равносильно
неравенству
, которое верно
при всех
.
При
второе неравенство равносильно
неравенству
,
которое верно только при
.
Баллы |
Критерии оценивания задания С3 |
3 |
Обоснованно получен правильный ответ |
2 |
Все шаги решения выполнены. Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы, но при в целом правильном решении другого неравенства исходной системы допущена одна вычислительная ошибка |
1 |
Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
C4 В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС , причём АК : КС = 3 : 4 . Точка М делит сторону АВ на два отрезка, один из которых вдвое больше другого. Прямая, проходящая через точку М параллельно ВС , пересекает прямую ВК в точке Р . Найдите отношение ВР : КР .
Ответ: 7: 5 . или 7 : 1 .
Решение:
1-й случай.
Пусть АМ : МВ = 2 : 1 . Обозначим МВ = b
, АК = 3а
. Тогда АМ = 2b
, и КС = 4а
. Пусть МТ параллельно ВС , точка Т
лежит на АС . Тогда АТ : ТС = АМ : МВ = 2 :
1 , поэтому АТ =
, ТС =
и КТ =
.
Поэтому ВР : КР = ТС : КТ = 7: 5 .
2-й случай.
Пусть АМ : МВ = 1 : 2 . Обозначим АМ = b
, АК = 3а
. Тогда ВМ = 2b
, и КС = 4а
. Пусть МТ параллельно ВС , точка Т
лежит на АС . Тогда АТ : ТС = АМ : МВ = 1 :
2 , поэтому АТ =
, ТС =
и КТ =
.
Поэтому ВР : КР = ТС : КТ = 7 : 1 .
Баллы |
Критерии оценивания задания С4 |
3 |
В приведённом решении рассмотрены оба случая, и в каждом из них обоснованно получен верный ответ |
2 |
В приведённом решении только в одном случае дано обоснование и получен верный ответ |
1 |
В приведённом решении рассмотрен только один случай, при этом не дано обоснование или допущена вычислительная ошибка |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
C5
Найдите все
значения параметра а ,
при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
Ответ: или
Решение: раскроем модуль и преобразуем исходную систему уравнений. Получим:
.
Условия
задают на координатной плоскости
«уголок» с вершиной в точке (2, 3) и лучами
и
,
идущими вправо от точки (2 , 3) . Уравнение
задаёт прямую, проходящую через точку
(4 , 7) с угловым коэффициентом а.
Поэтому исходная система уравнений
имеет единственное решение тогда, когда
прямая
проходит через вершину (2 , 3) «уголка»,
или когда прямая
пересекает ровно один из лучей «уголка».
Первому случаю соответствует
, а второму – условие
.
Баллы |
Критерии оценивания задания С5 |
4 |
Обоснованно получен правильный ответ |
3 |
Решение в целом верное и обоснованное, но допущена одна вычислительная ошибка или описка |
2 |
Ход решения в целом верный, но в решении содержатся существенные ошибки (например, не рассмотрен случай ) |
1 |
Имеется некоторое существенное продвижение в решении задачи (например, дана геометрическая интерпретация обоих уравнений системы) |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
C6 Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:
а) найдётся ли такая геометрическая прогрессия из четырёх различных целых чисел, что некоторые её три члена, будучи расположены в определённом порядке, образуют арифметическую прогрессию?
б) найдутся ли шесть различных целых чисел, пять из которых, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а другие пять из этих шести, будучи расположены в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию?
в) найдутся ли четыре различных целых числа, которые, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а будучи расположены в некотором другом порядке, образуют геометрическую прогрессию?
Ответ: а) да ; б) да ; в) нет
Решение:
а) да, например, числа 1 , -2 , 4 , -8 образуют геометрическую прогрессию, а числа -2 , 1 , 4 образуют арифметическую прогрессию.
б) да, например, числа -8 , -2 , 1 , 4 , 10 , 16 . Причём числа -8 , -2 , 4 , 10 , 16 образуют арифметическую прогрессию, а числа 1 , -2 , 4 , -8 , 16 образуют геометрическую прогрессию.
в) нет. Действительно, пусть четыре целых числа, расположенные в определённом порядке, образуют геометрическую прогрессию. Тогда знаменатель этой прогрессии является рациональным числом, а сама последовательность имеет вид: , , , , где , , причём числа m и n не имеют общих делителей, а число k делится нацело на , . Но целые числа , , , ни в каком порядке не могут образовывать арифметическую прогрессию. Это следует из того, что сумма любых двух из них не равна сумме двух других, так как , и (в каждом из случаев три числа делятся на m , а одно не делится).
Баллы |
Критерии оценивания задания С6 |
4 |
Даны вполне обоснованные ответы на все три вопроса |
3 |
Даны обоснованные ответы на все три вопроса, но при ответе на вопрос в) допущена неточность в обосновании |
2 |
Даны обоснованные ответы на два вопроса |
1 |
Дан обоснованный ответ на один из вопросов |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |