Вопрос № 18 Дайте вывод формул для аналитического определения главного вектора и главного момента произвольной пространственной системы сил

Пусть дана произвольная пространственная система сил {F1,, F2,....FN). Приведем ее к заданному центру О. В результате полу­чим, что данная система эквивалентна главному вектору и главному

Здесь по определению

Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало было в центре приведения. Тогда проекции главного вектора на эти оси координат определятся соотношениями:

Зная проекции главного вектора, можно определить его величи­ну и направление по следующим формулам:

Таким же образом находим проекции главного момента:

Здесь следует помнить, что согласно теореме о связи между моментом силы относительно оси и моментом этой же силы относи­тельно точки, лежащей на этой оси, правые части равенства (6) вычис­ляются как суммы моментов всех сил данной системы относительно выбранных осей координат.

Далее находим модуль и направление главного момента

Вопрос № 19

Докажите как изменяется главный момент при изменении центра приведения

Пусть пространственная система сия приведена к центру О, т.е.

где

Главный момент образует с направлением главного вектора не­который угол а (рис 1.32)

Возьмем теперь новый центр приведения О1 и приведем все си­лы к этому центру. В результате снова получим главный вектор, равный главному вектору R, и новый главный момент, определяемый формулой

где pк — радиус-вектор точки приложения силы Fk, проведенный из но­вого центра приведения О1 (см. рис. 1.32).

Главный момент Мо1 относительно нового центра приведения

изменился и теперь образует с направлением главного вектора R неко­торый угол а1. Установим связь между моментами Мо и Мо1 .

Из рисунка 1.32 видно, что

(3) Подставляя (3) в равенство (2), получим

(4)

Далее, раскрывая скобки в правой части равенства (4) и вынося общий множитель О1О за знак суммы, имеем

Первая сумма в равенстве (5) равна М₀, вторая - R, тогда

М₀₁ = M₀+O₁O*R (6)

Второе слагаемое равно моменту главного вектора R относи­тельно нового центра приведения в предположении, что главный вектор приложен в старом центре О, т.е.

O₁O*R=mO1(R0).

Таким образом, мы доказали следующую теорему:

М₀₁= M₀+m₀₁(R₀).

Главный момент системы сил относительно нового центра приведения O₁ равен сумме главного момента относительно старого центра приведения О и момента главного вектора относительно ново­го центра в предположении, что он приложен в старом центре О.

Следствие 1. Если главный вектор данной системы сил равен нулю, то главный момент не зависит от выбора центра приведения,

Следствие 2. Если главный вектор равен нулю и существует точка, относительно которой главный момент равен нулю, то главный момент будет равен нулю относительно любого другого центра приве­дения.

Следствие 3. Главный момент данной системы сил одинаков для всех точек прямой, параллельной главному вектору.

Вопрос №20. Дайте определение первого инварианта произвольной пространственной системы сил и докажите что является вторым инвариантом, как его аналитически вычислить и каков его геометрический смысл?

Величины, которые не изменяются при каком-либо преобразовании, называются инвариантными по отношению к этому преобразованию. Рассмотрим систему сил (F₁, F₂,…, F_N) и приведем эту систему к заданному центру О. В результате получим

Очевидно, что величина и направление главного вектора по определению не зависят от выбора центра приведения. Поэтому его называют первым инвариантом произвольной пространственной системы сил. В более узком смысле под первым инвариантом произвольной пространственной системы сил будем понимать независи­мость квадрата модуля главного вектора от выбора центра приведения:

I₁=R +R +R (2)

Что касается главного момента, то его модуль и направление изменяются с изменением центра приведения. Известно, что М₀₁ =M₀+O₁OхR. (3)

Умножим это равенство скалярно на R: М₀₁ * R = М₀ R + (O₁OхR)* R . (4)

Второе слагаемое правой части равенства (4) равно нулю как смешан­ное произведение коллинеарных векторов.

Поэтому M_01*R = M_0*R, (5)

т.е. скалярное произведение главного момента произвольной простран­ственной системы сил на главный вектор той же системы не зависит от выбора центра приведения и является вторым инвариантом I₂ = М₀ * R , (6)

или, в проекциях на оси декартовой системы координат, I₂=M_xR_x+M_yR_y+M_zR_z. (7)

Второму инварианту можно дать очень простую геометрическую ин­терпретацию. На основании определения скалярного произведения I₂=M_0*R=M₀Rcos(M_o,^ R). (8)

Откуда M₀cos(M_o,^R)= I2/корень(I1) (9)

Таким образом, при R =/= 0 проекция главного момента на направление главного вектора не зависит от выбора центра приведения.

Вопрос №21. Доказать общий случай приведения произвольной пространственной системы сил к динамическому винту.

Совокупность силы, равной главному вектору, и пары сил с моментом, равным главному моменту, коллинеарным главному векто­ру, называется динамическим винтом или динамой.

Пусть в произвольном центре О система сил приведена к главному вектору R и главному моменту М₀.

Разложим главный момент М₀ на две составляющие (рис. 1.34), направленные по главному вектору и перпендикулярно к нему:

М₀ = М* + М₁. (I)

В еличина вектора М*, равная проекции главного момента на направление главного вектора, не зависит от выбора центра приведения, т.е.

М* = const,

причем численно

С изменением центра приведения будет изменяться только пендикулярная составляющая М1. Мы всегда можем найти такой центр приведения О*, чтобы переменная составляющая М1 обратилась в нуль.Тогда главный момент и главный вектор будут коллинеарны, а вектор М*0 будет иметь минимальную величину, определяемую формулой (2). Составляющая М1 представляет собой момент пары сил, плоскость которой перпендикулярна М1 (рис. 1.35) Выберем силы R1 и –R1, состовляющие эту пару,равны по модулю главному вектору R и приложим силу –R1к центру приведения О. Система сил R и –R₁ приложенная к точке О, как эквивалента нулю может быть отброшена. Так как момент М* - вектор свободный, то его можно перенести из точки О в О* . Таким образом, заданная система сил приведена в центре О* к одной силе R1 = R и к паре сил с моментом М*,то есть мы получили динамический винт.

Точка О не единственная, в которой система приводится к динаме. В самом деле, силу R можно переносить вдоль линии ее действия, момент же пары сил есть вектор свободный. Следовательно, система сил может быть приведена к динаме во всех точках прямой, проходя­щей через центр приведения О* и являющейся линией действия главно­го вектора R1 = R.

Геометрическое место центров приведения, относительно которых главный момент коллинеарен главному вектору, называется центральной осью данной системы сил.

Так как на центральной оси главный момент имеет минималь­ное значение, эта ось называется осью наименьших главных моментов.

Найдем теперь уравнение центральной оси. Пусть О* точка цен­тральной оси. Тогда

М*= M₀+О*OхR= М_о-ОО*хR. (3)

Условие коллинеарности главного вектора и главного момента для точ­ки О* записываем следующим образом:

M* = pR. (4)

Здесь р - постоянная величина, имеющая размерность длины, называемая параметром винта.

Т.к. величина минимального момента М* определяется формулой (2), то

Очевидно, что знак параметра определяется знаком второго инварианта. При р > 0, R и М* направлены в одну сторону.

Подставляя в формулу (4) значение минимального момента М* из (3), получим

M₀-ОO*xR =pR. (6)

Таким образом нами получено уравнение центральной оси в векторной форме, причем текущей координатой является вектор ОО*. Если координаты векторов М₀, R и ОО* обозначить

Мо(М_X ,М_у, М_z ), R(R_X, R_y R_z:), OO*(х, у, z), то в проекциях на оси координат уравнение центральной оси примет вид

P

М_х – (yR_z - zR_y) М_у - (zR_x - xR_z) M_z - (xR_y - yR_x)

Rx Ry Rz

Итак, всякая система сил, действующая на твердое тело, для которой второй инвариант не равен нулю, приводится к динаме.

Вопрос № 22

Доказать частные случаи приведения произвольной пространственной системы сил к равнодействующей и к паре

Приведение к равнодействующей

Если , то система сил приводится к

о дной силе, т.е. к равнодействующей, равной главному вектору системы сил. Это следует из того, что при. главный вектор и главный момент взаимно перпендикулярны (рис. 1.36), а следовательно, минималь­ный момент М* = 0, и динама вырож­дается в одну силу, т.е. равнодейст­вующую. Поясним это более нагляд­но. Заменим главный момент Мо па­рой сил так, чтобы силы, составляю­щие эту пару, по величине были бы равны главному вектору R. Располо­жим эту пару так, чтобы одна из сил была бы приложена в центре приве­дения и направлена в сторону, проти­воположную направлению R. Система сил (R и —R* ) эквивалентна нулю. Остается одна сила R* , приложенная в

точке О*, причем При приведении системы сил к центру О

может оказаться более простой случай, когда Ясно, что в этом случае система сил эквивалентна главному вектору, т.е. равно­действующей, приложенной в центре приведения.

Таким образом, чтобы система сил имела равнодействующую, необходимо и достаточно выполнение двух условий: для любого центра приведения.

Приведение к паре сил

Если то главный момент не зависит от выбора центра приведения. Система сил при этом приводится к паре с моментом Мо.

Вопрос № 23

Сформулируйте и докажите теорему Вариньона для произвольной пространственной системы сил.

Если произвольная система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любого центра равен геометрической сумме моментов всех сил этой системы относительно того же центра.

Пусть некоторая система сил (F1, F2,...FN) приведена к равно­действующей , приложенной в точке О*. Перенесем эту рав­нодействующую в произвольную точку О. При этом добавится присое­диненная пара с моментом

(1)

С другой стороны, точку О можно рассматривать как новый центр приведения главный момент относительно которого

(2)

Сравнивая равенства (1) и (2), получаем теорему Вариньона

Проецируя обе части этого равенства на любую ось, проходящую через центр О, найдем, что теорема Вариньона справедлива для моментов данной системы относительно оси.

Вопрос № 24

Сформулируйте и докажите условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Рассмотрим произвольную пространственную систему сил, дей­ствующих на твердое тело. Приведем эту систему сил к заданному цен­тру и остановимся на том случае, когда главный вектор и главный мо­мент данной системы сил равны нулю, т.е.

(1)

Такая система сил эквивалентна нулю, т.е. уравновешена. Сле­довательно, равенства (1) являются достаточными условиями равнове­сия. Но эти условия также и необходимы, т.е. если система сил нахо­дится в равновесии, то равенства (1) также выполняются.

В самом деле, если бы система находилась в равновесии, но, например то данная система привилась бы к равнодейст-

вующей в центре приведения и равновесия не было бы. Если бы но Мо =**О, данная система привилась бы к паре и равновесия также не было пара не могут уравновесить друг друга. Таким образом, мы доказали, что для равновесия произвольной пространственной системы сил необ­ходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра приведения равнялись нулю.

Условия (1) называются условиями равновесия в векторной форме. Для получения более удобной для практических целей аналити­ческой формы условий равновесия спроецируем равенства (1) на оси декартовой системы координат. В результате получим:

(2)

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на оси ко­ординат х, у и z, а также сумма моментов всех сил относительно этих же осей равнялись нулю.

Вопрос №25 Сформулируйте и докажите условия равновесия произвольной плоской системы сил

Если все силы, действующие на твердое тело, лежат на одной плоскости, выберем систему координат хОу в плоскости действия сил (рис. 1.39). В этом случае обнаружим, что

Д алее, вспомнив определение момента силы относительно оси, замечаем, что сумма моментов всех сил относительно оси z равна алгебраической сумме моментов этих сил отно­сительно, начала координат, т.е. точки О. В ре­зультате останутся следующие три аналитиче­ские условия равновесия:

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из коорди­натных осей х и у и сумма моментов всех сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, были равны нулю.

Читателю рекомендуется рассмотреть самостоятельно случаи плоской системы сходящихся и параллельных сил.

Вопрос № 26

Сформулируйте и докажите условия равновесия системы параллельных сил в пространстве

П усть на твердое тело действует пространственная система па­раллельных сил. Так как выбор осей произволен, можно выбрать систе­му координат так, чтобы одна из осей была параллельна силам, а две другие им перпендикулярны (рис. 1.38). При таком выборе координатных осей проекции каждой из сил на оси х и у и их моменты относительно оси z всегда будут равны ну­лю. Это означает,что

Эти равенства тождественно выполняются, независимо от того, находится ли данная система сил в равновесии или нет, т.е. перестают быть условиями рав­новесия. Поэтому в качестве условий равновесия останутся следующие:

Таким образом, для равновесия системы параллельных сил в пространстве необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы сулима их моментов относительно каждой из двух координатных осей, перпен­дикулярных силам, также равнялись нулю.

Вопрос № 27

Сформулируйте и докажите вторую форму условий равновесия произвольной плоской системы сил (теорема о трех моментах)

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой, были равны нулю, т.е.: (3)

Необходимость этих условий очевидна, т.к. если плоская систе­ма сил находится в равновесии, то выполняется первая форма условий равновесия (2). А тогда из последнего равенства (2) следует, что сумма моментов всех сил относительно любой точки, следовательно, и точек А, В, С равняется нулю, т.е. выполняются условия (3).

Достаточность условий (3) следует из того, что если выполня­ются условия (3), а данная система сил не находится в равновесии, то она должна была бы приводиться к равнодействующей, одновременно проходящей через точки А, В, С. Это невозможно, т.к. точки А, В, С не лежат на одной прямой. Следовательно, если выполняются условия (3), то имеет место равновесие.

Вопрос № 28

Сформулируйте и докажите третью форму условий равновесия произвольной плоской системы сил.

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно двух любых точек А и В и сумма их проекций на ось Ох, не перпендику­лярную прямой, проходящей через точки А и В, были равны нулю:

(3)

Н еобходимость этих условий, так же как и в предыдущем слу­чае, следует из первой формы условий равновесия. Докажем их доста­точность, т.е. докажем, что если выполняются условия (3), то рассматриваемая система находится в равновесии. Выполнение первых двух условий (3) означает, что главный момент данной системы сил относи­тельно центров приведения А и В равен нулю. Такая система может иметь равно­действующую, приложенную в центре при­ведения, и при R*=** 0 линия действия равно­действующей проходит через точки А и В. Но по третьему условию из (3) проекция равнодействующей на ось Ох равна нулю. Так как ось Ох (рис. 1.40) не перпендику­лярна АВ, то это последнее условие может быть выполнено только в слу­чае, если R*=0, т.е. когда рассматриваемая система сил уравновешена.

Вопрос № 29 Дайте определение центра параллельных сил и докажите формулы для определения его радиус-вектора и координат

Точка С, через которую проходит линия действия равнодейст­вующей системы параллельных сил, при любых поворотах этих сил око­ло фиксированных их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Н айдем теперь координаты центра системы параллельных сил (F1 F2,...FN) (рис. 1.44). Радиус-векторы точек приложения сил обо­значим через rk (k = 1, 2, 3.....N), а радиус-вектор центра параллельных сил С обозначим через rc. Выберем одно из возможных направлений па­раллельных сил за положительное. Единичный вектор этого направления обозначим е°, а проекции сил на направление вектора е° обозначим Fk. Тогда (2) (3)

(4)По теореме Вариньона

Далее, используя предыдущие равенства (2) и (3), получим

(5)

или

(6)

Так как по определению центра параллельных сил соотношение (6) удовлетворяется при любом направлении единичного вектора е°, то первый множитель в равенстве (6) должен быть равен нулю, т.е.

(7)

Откуда

Проецируя обе части этого равенства на оси координат, получа­ем формулы для координат центра системы параллельных сил:

(9)

Вопрос № 30

Докажите, как определяются координаты центра тяжести однородных тел (объёма, площади, линии)

Предположим, что требуется найти положение центра тяжести однородного тела. Тело называется однородным, если его удельный вес у постоянный. В этом случае

(1)

Подставив эти значения dp и Р в формулы для определения координат неоднородного тела и сокращая на у, получим :

(2)

Из этих формул следует, что положение центра тяжести однородного тела не зависит от физических свойств его вещества, а зависит лишь от геометрической формы и размеров. Поэтому говорят, что формулы (2) определяют координаты центра тяжести объема.

Центр тяжести площади

В ряде случаев тело можно считать тонкой пластинкой или оболочкой. Предполагая, что вес элемента его поверхности пропорционален площа­ди этого элемента, т.е. при у1 = const можно найти

(3)

Ц ентр тяжести тонкой однородной оболочки называют центром тяжести поверхности или площади (рис. 1.46). Как следует из формул (3), вычисление координат центра тяжести площади связано с вычисле­нием интегралов по поверхности.

Центр тяжести линии

Рассмотрим однородный криволинейный стержень с постоян­ной площадью поперечного сечения (рис. 1.47). Предположим, что вес стержня и его элемента пропорционален его длине, т.е. Тогда формулы для координат центра тяжести однородного стержня имеют вид:

(4)

Интегралы, стоящие в числителях фор­мул (4) - криволинейные. Положение центра тяжести однородного стержня не зависит от его поперечных размеров, поэтому говорят, что формулы (4) определяют центр тяжести линии.

В заключение следует отметить, что оп­ределение центра тяжести однородных тел, имеющих плоскость, ось или центр симметрии, облегчается, т.к. центр тяжести таких тел лежит, соответственно, или в плоскости, или на оси, или в центре симметрии.