Равнопеременное криволинейное движение

Если во все время движения величина касательного ус­корения точки постоянна, т.е. ат = const, то криволинейное движение называется равнопеременным.

При этом следует помнить, что если направление ат сов­падает с направлением скорости, то движение называется равно­ускоренным, если же ат направлено в сторону, противоположную скорости, то - равнозамедленным (рис. 2.15).

Рассмотрим более подробно это движение. Найдем закон изменения скорости точки и ее закон движения по криволиней­ной траектории s = s(t), считая, что при t=0 s = So, a V = V0. Здесь S0 — начальное расстояние от начала отсчета; V0— начальная скорость точки.

Тогда из выражения (1)

интегрируя, найдем закон изменения скорости точки (2)

Далее, принимая во внимание, что и вторично интегрируя, получим закон равнопеременного криволинейного движения:

(3)

Отметим, что формулы (2) и (3) отличаются от соответ­ствующих формул для случая прямолинейного движения точки тем, что в эти формулы входит касательное ускорение.

Рассмотрим теперь, как определяет­ся ускорение точки при ее движении по ок­ружности радиусом R (рис. 2.16).

Скорость точки в случае ее движе­ния в положительном направлении отсчета расстояний определим по полученной выше формуле: (4)

Дифференцируя это равенство по времени, получим касательное ускорение

( 5) Величина

(6)

называется угловым ускорением вращения радиуса OM=R.

Нормальное ускорение получим, принимая во внимание,

что радиус кривизны окружности равен ее радиусу, т. е. р = R: (7) Модуль ускорения точки в круговом движении будет (8)Угол M, который образует ускорение с радиусом окруж­ности, определяется из равенства (9)Если V = const, то ускорение в круговом движении будет направлено по радиусу, так как тангенциальное ускорение в этом случае равно нулю.

Вопрос № 11

Дайте определение поступательного движения твердого тела и докажите свойства поступательного движения

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная е теле во все время движения, остается параллельной своему пер­воначальному направлению.

При поступательном движении точки тела могут дви­гаться по любым траекториям. Рассмотрим движение тела отно­сительно некоторой системы координат (рис. 2.19). Возьмем в теле точку А. Векторное уравнение движения тонкий имеет вид

Возьмем в теле другую точку В, определяемую радиус-вектором rв. Векторное уравнение движения точки В имеет вид

(2). При движении тела радиус-векторы ra и rв изменяются с течением времени и по модулю, и по направлению. Вектор АВ имеет постоянный модуль и по­стоянное направление, что следует из определения абсолютно твердо­го тела и его поступательного движения. Как видно из уравнения (2), траекторию точки В можно получить параллельным перено­сом траектории точки А. Направ­ление и величина этого переноса определяются вектором АВ.

Таким образом, при по­ступательном движении твердого тела все его точки описыва­ют одинаковые траектории, которые при параллельном перено­се совпадают.Дифференцируя равенство (2) по времени, найдем (3)

Далее, учитывая, что , а вектор АВ

не изменяется во времени ни по величине, ни по направлению и, следовательно, производная имеем

(4)При вторичном дифференцировании равенства (4) най­дем (5)Так как точки А и В были выбраны произвольно, то фор­мулы (4) и (5) показывают, что при поступательном движении все точки твердого тела движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями для любого момента времени. Из этих свойств поступательного движения следует, что изучение поступательного движения тела сводится к изучению движения какой-либо одной из его точек. Следовательно, при изучении поступательного движения твердого тела можно при­менять все формулы, рассмотренные выше при исследовании движения одной точки.

Вопрос № 12 Дайте определение вращательного движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Как задается это движение. Докажите формулы угловой скорости и углового ускорения тела. Как связана угловая скорость и число оборотов в минуту

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела описывают кон­центрические окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Рассмотрим вопрос о зада­нии уравнения, или закона вращательного движения. Пусть ось Oz является неподвиж­ной осью, вокруг которой вращается тело. Проведем через ось Oz две плоскости: под­вижную Р и неподвижную Q (рис. 2.20). По­ложение вращающегося тела может быть опре­делено двугранным углом ф между этими плос­костями. Назовем угол ф углом поворота тела и условимся считать положительным, если, глядя с положительного конца оси z, угол ф виден отложенным от неподвижной плоскости против хода часовой стрелки. Угол поворота тела обычно измеряют в радианах. Иногда в практических задачах этот угол выражают числом оборотов N тела. Так как один оборот тела соответствует 2П радиан, то получаем зависимость (1)

П ри вращении тела угол поворота изменяется с течением времени, т.е. (2)Равенство (2) называется уравнением, или законом вра­щательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.Рассмотрим теперь основные кинематические величины, характеризующие вращательное движение тела. Этими величи­нами являются угловая скорость тела омега и угловое ускорение е.Угловой скоростью тела называется физическая вели­чина, характеризующая быстроту изменения угла поворота <р тела во времени, т.е. (3)В самом деле, пусть за промежуток времени дл.t; угол по­ворота ср получил приращение дл.ФИ. Тогда средняя угловая ско­рость определится равенством (4)Предел этого отношения при дл.t—>0 называют угловой скоростью тела в данный момент времени (5)Мы вновь пришли к равенству (3). Итак, угловая ско­рость тела равна первой производной по времени от угла пово­рота тела. Значение угловой скорости омега для данного момента времени может быть положительным или отрицательным в зави­симости от того, возрастает или убывает угол поворота тела.Если то тело в данный момент времени вращается

в положительном направлении отсчета угла поворота ф, т. е. про­тив движения часовой стрелки.Размерность угловой скорости В технике угловую скорость характеризуют числом оборотов в минуту и обо­значают буквой п. Замечая, что п об/мин соответствует п/60 об/с и что 1 оборот соответствует 2П радианам, получим: (6)Угловым ускорением называется физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости тела во времени: (7)Эту меру быстроты изменения угловой скорости можно получить как предел приращения угловой скорости к прираще­нию времени: (8)Таким образом, угловое ускорение тела в данный момент времени равно первой производной по времени от угловой скоро­сти или второй производной от угла поворота.Размерность углового ускорения Если знаки угловой скорости и углового ускорения одинаковы, то вращение тела в данный момент ускоренное, если же знаки омега и е различны, вращение замедленное.