2) , , Компланарны

В ывод уравнения плоскости в пространстве. Нормаль. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Точка M₀ и нормаль однозначно определяют плоскость

Пусть - произвольная точка искомой плоскости.

- векторное уравнение плоскости

Расстояние от точки до плоскости :

Углы между плоскостями – углы между нормалями:

Условие параллельности плоскостей:

Условие перпендикулярности плоскостей:

Вывод канонического уравнения прямой в пространстве. Формы задания прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Пусть - произвольная точка искомой прямой.

- параметрическое уравнение прямой, (t – параметр)

Уравнение прямой AB:

Прямая как линия пересечения плоскостей.

Угол между прямыми

Условие параллельности прямых:

Условие перпендикулярности прямых:

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Угол между плоскостью и прямой:

;

Условие параллельности плоскостей:

;

Условие перпендикулярности плоскостей:

;

Поверхности 2 порядка и их сечения: эллипсоид и конус.

Z=0: - эллипс в плоскости z=c\2

X=0: эллипс в плоскости x=0 y=0

: Конус

Сечения:

Z=0: точка (0; 0; 0)

Z=+-c:

Z=+-2c:

X=0:

Y=b:

Поверхности 2-го порядка и их сечения:

Однополостный и двуполостный гиперболоиды.

Однополостный гиперболоид

Сечения: Эллипс

Двуполостный гиперболоид

С ечения: точки (0;0;c) и (0;0;-c)

-эллипс

Поверхности 2-го порядка и их сечения:

Эллиптический и гиперболический параболоиды.

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

Понятие и примеры числовых последовательностей. Монотонные и ограниченные последовательности. Предел числ. послед-сти.

Числ. последовательность называется функция, заданная на множестве натур. чисел N. F(n)=a_n – общ. член числ. послед.

: 1; 1/2; 1/3; 1/4; …; 1/100… 0

n ∞

: 1;4;8;16;… ;100… ∞

n ∞

: -1;1;-1;1… нет предела

: -1/2;1/4;-1/8;1/16;… 0

n ∞

: 2;5/2;8/3;11/4; … 3

n ∞

a1 a2 0 a3

x

-1/2 -1/8 1/16 1/4

Число а назыв-ся пределом числовой послед-сти (Lim a_n=A) ,

n∞

если E>0 N такой, что n>N выполняется (an-A)<E (разность сколько угодно мала).

Числ. посл., имеющая конечный предел называется сходящейся (в прот. случае расходящейся).

Св-ва ч.п.:

1) монотонность: an>an+1 – убывающая

a_n≥a_n+1 – невозр.

а_n<a_n+1 – возраст.

a_n≤a_n+1 – неубывающ.

2) огран-сть: M >0, что (an) ≤M.

а_n=1/n – убывающ.

(1/n) ≤1 – ограничен.

а_n=(-1/2) n – немонотонна

((-1/2)n) ≤1/2 – ограничена

а_n=2 n – возраст. и неогр.

Бесконечно малые и б.б. числовые последовательности, связь между ними.

Теорема 1. : Сходящаяся числ. последовательность ограничена.

Т.2: Ограниченная монотонная ч. п. сходится.

Если Lim a_n=0 , то ч.п. называется б.м.

Пример: ; ; .

Ч.п. называется б.б. и обознач.: Lim a_n=∞

n∞

е сли: M>0 N такой, что n>N, выполняется: (a_n)>M.

пример: ; .

Т.3:

А) если - б.м. ч.п. и a_n≠0, то - б.б. ч.п. [1/0=∞]

Б) если - б.б. ч.п. и b_n ≠0, то - б.м. ч.п. [1/∞=0].

Предел ф-ции(2 опред.):

1-ое опред.(на языке последовательностей(по Гейне)): Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке X₀ , если на множестве X выполняется:

2-ое опред.(на языке (эпсилам-дельта) по Коши):

, если:

Односторонние пределы и пределы по бесконечному направлению

Односторонние пределы:

1)

Теорема 1: Оба определения предела ф-ции в точке эквивалентны.

Теорема 2: Предел ф-ции X₀ тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны между собой.

Пределы по бесконечному направлению:

1) Если

2) Ф-ция :

Бесконечно малые и бесконечно большие ф-ции в точке, их св-ва:

1) Если

2) Ф-ция :

Свойства:

Теорема 1:

1) Если f(x)-б.м. ф-ция в т.

2) Еслиg(x)-б.б. ф-ция в т.

Теорема 2:

Если

Теорема 3:

Сумма, разность и произведение б.м. ф-ций в т.X₀ является б.м. ф-цией в т. X₀.

Произведение б.м. в т. X₀ на ограниченную, явл. б.м.

Теорема о пределах ф-ции в точке:

Если :

1)

2)

3)

Классификация бесконечно малых функций

Пусть и .

Вычисляем .

Если , то - бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем . Пример

Если , то - б.м. функции эквивалентны в т. X₀

Если , то и - одного порядка малости в т. X₀. Пример 5x²и3x².

Замечательные пределы

1-й замечательный предел:

Пример:

1)

2)

3)

2-й замечательный предел:

Пример:

Непрерывность ф-и в точке. Классиф. точек разрыва. Св-ва ф-й, непрерывность в точке и на отрезке.

Y=f(x) по обл Д X_o €Д X_o+∆X€Д ∆X – приращение аргумента

∆f(x)=f(X_o+∆X) – f(X_o) - приращение ф-и в точке X_o

Ф-я y=f(x), наз. Непрерывной в точке X_o если: 1) X_o€Д т.е. f(X_o); 2) ; 3) (б.м. приращение по аргументу соотв. Б.м. приращение аргумента ∆f)

Точки в которых нарушается непрерывность, наз. точками разрыва.

Классиф. точек разрыва: Вычислим: пусть Хо – т.разрыва, f(Xo-0) и f(Xo+0) – односторонние пределы.

1)Если однос.пределы f(Xo-0)=A и f(Xo+0)= В – конечны, то Хо наз.точкой разрыва 1-го рода.

2)В частности, если А=В(но ≠f(Хо), то Хо, наз.точкой устранённого разрыва.

3 )Все остальные точки разрыва(хотябы один из одност. пределов бесконечны или не сущ.)и точки разрыва 2-го порядка.

F(x) =

Х =0,т.разрыва 2-го рода F(x)= F(x)= f(x)=

X=0,т.разрыва 1-го рода x=0, т.устран.разрыва x=1, точка непрерывности

Ф-я f(x) наз.непрер.на отрезке АВ, если она непрерывна в каждой т.этого отрезка.

С в-ва ф-й, непрер.на отрезке: Т1(Вейерштрасса):если ф-я f(x) непрер.на отрезке АВ, то она достигает на этом отрезке наибол.(М) и наимен.(м) значений.

Т 2: если ф-я непрер. На отрезке АВ и принимает на концах отрезка значение разных знаков, т.е. f(a)*f(b)<0,то сущ. C€(a,b) такой, что f(c)=0

Т 3: если ф-я f(x) непрер. На отрезке АВ и приним. значение между м и М, то для любого числа C€(a,b) такое, что f(c)=c

Т еорема: все остальн. Элементы ф-и( степенная, показательная, логарифмическая, тригоном. и обратн. тригоном)непрер. на своей облости определения. Пример: док-ть, что ф-я f(x)=2+3x-x² непрер. на(-∞;+∞)

2’) ;