Определители и их свойства.

detA – детерминант матрицы А

detA₁= =a₁₁

detA₂= =а₁₁*а₂₂-а₂₁*а₁₂

- +

Т

Разложение определителя по i-ой строке

еорема 1: Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

d

Разложение определителя по j-ому столбцу

etAn=

Доказательство:

= =а₁₁*а₂₂*а₃₃+а₃₁*а₁₂*а₂₃+а₂₁*а₃₂*а₁₃-(а₃₁*а₂₂*а₁₃+а₂₁*а₁₂*а₃₃+а₁₁*а₂₁*а₂₃)= =а₁₁*(а₂₂*а₃₃-а₃₂*а₂₃)-а₁₂*(а₂₁*а₃₃-а₃₁*а₂₃)+а₁₃(а₂₁*а₃₂-а₃₁*а₂₂)= =а₁₁* -а₁₂* +а₁₃* = =a₁₁*M₁₁-a₁₂*M₁₂+a₁₃*M₁₃= =a₁₁*A₁₁-a₁₂*A₁₂+a₁₃*A₁₃ – что и требовалось доказать

Свойства определителя:

При транспонировании матрицы ее определитель не меняется: det(A)T= detA= =a*d-b*c= - равноправие строк и столбцов

Если 2 строки (столбца) поменять местами, то определитель поменяет знак: =ad-bc=-(bc-ad)=-

Определитель, содержащий нулевую строку (столбец) равен нолю: =0-0=0

Определитель, содержащий одинаковые строки (столбцы) равен нолю: =a*c-a*c=0

Общий множитель какой либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя: =k*a*d-k*b*c=k*(ad-bc)=k

Определитель, содержащий пропорциональные сроки (столбцы) равен нолю: =k*a*b-k*a*b=0

Орпеделитель не изменится, если к элементу какой-либо строки (столбца) прибавить элемент другой сторки (столбца), умноженные на какое-либо число:

det (A_n*B_n)= det A_n* det B_n

Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Разложение определителя по строке и столбцу.

Минором M_ijэлемента a_ij пределителя n-го порядка называют определитель (n-1)-го порядка, который получается из исходного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическое дополнение A_ij элемента a_ij определителя находится по формуле:

Теорема 1

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

det -- разложение определителя по i-той строке

det --разложение определителя по j-тому столбцу

Доказательство

Теорема 2

Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равен нулю.

если

Замечание

Определители 4-го и более высокого порядков вычисляется разложением по строке или столбцу.

Обратная матрица: определение, построение и свойства. Решение матричных уравнений.

Если определитель матрицы А не равен нулю, то матрица А является невырожденной, а если определитель матрицы равен нулю, то матрица А является вырожденной.

Матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам матрицы А, наз. Взаимной.

к матрице А

Матрица A^-1называется обратной к матрице А, если: A*A^-1=a^-1*A=E

Лемма:

Проверка:

Теорема 1

Для того, чтобы у матрицы А существовала обратная матрица , необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.

Доказательство

, то по лемме

Теорема 2

Если , то она единственна.

Доказательство (от противного)

Пусть - обратные к матрице А

Свойства:

1.

2.

3.

4.

Матричные уравнения:

1. А*Х=В

2. Х*А=В

Х*А*