13. Запись системы линейных уравнений в матричной форме.

А = а₁₁ а₁₂ … а_1n - матрица коэффициентов системы

а₂₁ а₂₂ … а_2n

а₃₁ …

а_m1 а_m2 … а_mn

В = b₁

b₂

…

b_n

X = x₁

x₂

…

x_n

A *X = а₁₁x₁ + а₁₂x₂ + … а_1nx_n

а₂₁x₁ + а₂₂x2 + … а_2nx_n

а₃₁x₁ …

а_m1x₁ + а_m2x₂ +… а_mnx_n

A*X = B - система в матричном виде

AX = B /* А^-1

(А^-1 * A) * X = А^-1 * B

E*X = А^-1 * B

X= А^-1 * B

14. Решение системы линейных уравнений в матричной форме. Пример.

15. Определение ранга матрицы. Теорема об элементарных преобразованиях матрицы.

Пусть дана произвольная матрица А

А= а₁₁ а₁₂ … а_1n

а₂₁ а₂₂ … а_2n

а₃₁ …

а_m1 а_m2 … а_mn

Будем вычеркивать из данной матрицы некоторые строки (столбцы) так, чтобы оставшиеся элементы образовали квадратную таблицу чисел размера k*k.

Соответствующий этой таблице определитель k -порядка будет являться минором этой матрицы, а число k – порядком этого минора.

Рассмотрим всевозможные миноры А (сами элементы минора – миноры 1 порядка).

РАНГ матрицы – наибольший порядок минора, отличного от нуля.

Две системы линейных уравнений будем называть равносильными (эквивалентными), если они имеют одни и те же решения.

Уравнение вида: 0*x₁ + 0*x₂ + … + 0*x_n = 0 называется ТРИВИАЛЬНЫМ.

ТЕОРЕМА об элементарных преобразованиях матрицы: (без док-ва)

Элементарные преобразования системы приводят к новой системе, которая равносильна исходной.

Возможны следующие преобразования:

1. Умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число

2. Замена i-го уравнения системы уравнением, которое получится путем почленного сложения i-го и j-го уравнения системы.

3. Удаление из системы тривиальных уравнений.

16. Нахождение ранга матрицы. Пример.

17. Теорема Кронекера-Капелли. Пример.

18. Метод Гаусса. Решение квадратных систем. Идея метода. Основные (базисные) и свободные неизвестные.

== Метод последовательного исключения неизвестных ==

СУТЬ

Используя специальные элементарные преобразования, в результате которых неизвестное х₁ из всех уравнений, кроме первого; х₂ – из всех, кроме первого и второго, х₃ – из всех, начиная с четвертого и т.д. столько раз, сколько позволяет размер системы.

В процессе исключения неизвестных могут встретиться тривиальные уравнения, тогда их следует отбросить.

Если встретится 0*х₁ + 0*х₂ + … + х_n ≠ 0, то система решения не имеет, а если нет – то преобразования можно продолжить.

Не трудно сообразить, что в окончательной системе будет содержаться столько уравнений, какой ранг.

Очевидно, r ≤ n

1) если r = n, то единственное решение,

2) если r ≥ n, то множество решений.