9. Матрица, основная терминология, сложение матриц и умножение их на число. Пример.

Прямоугольная таблица чисел mxn называется МАТРИЦЕЙ.

а₁₁ а₁₂ … а_1n

а₂₁ а₂₂ … а_2n

а₃₁ …

а_m1 а_m2 … а_mn

Если m = n, то матрица называется КВАДРАТНОЙ.

а ₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

Если m ≠ n, то – ПРЯМОУГОЛЬНОЙ.

а ₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

а₄₁ а₄₂ а₄₃

В частности, в матрице 1*n (строка), m*1 (столбец).

Матрица обозначается заглавными буквами – А, В, С …

Две матрицы будут считаться равными, если они одинакового размера и соответственные элементы равны.

Квадратная матрица называется ДИАГОНАЛЬНОЙ, ели все её элементы, кроме элементов на главной диагонали, равны 0.

а ₁₁ 0 0

0 а₂₂ 0

0 0 а₃₃

ЕДИНИЧНАЯ (Е) матрица – диагональная матрица, в которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны 1.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Матрица, все элементы которой равны 0, называется НУЛЕВАЯ (Ѳ).

О бозначение определителя для квадратной матрицы А = А

Матрица, определитель которой равен 0 называется ВЫРОЖДЕННОЙ (соответственно, не равен 0 - невырожденная)

Пусть А – квадратная матрица, тогда ОБРАТНОЙ матрицей к данной называется такая матрица (А^-1), что выполняется равенство А*А^-1 = А^-1*А = Е (единичная матрица)

Действия с матрицами:

1) Сложение матриц

А + В = С

Матрицы можно складывать, если они имеют одинаковые размеры

Результат сложения – матрица того же размера

Элементы данной матрицы – сумма соответствующих элементов обеих матриц

Не трудно убедиться в справедливости следующих равенств:

А + В = В + А

А + В + С = А + С + В и т.д.

А + Ѳ = А

2) Умножение на число

А * α – матрица того же размера, а элементы образуются умножением каждого элемента на данное число.

10. Умножение матриц, свойства этой операции. Пример.

С = А*В А*В ≠ В*А

Произведение матриц определяется не для всех матриц, а только для таких, у которых число столбцов А = числу строк В.

«длина» строки А = «длине» столбца В

Умножение матриц осуществляется по правилу «строка*столбец»

А = 1 0 В= 2 3 0

1 1 1 2 3

А *В = С= 1*2 + 0*1 1*3 + 0*2 1*0 + 0*3 = 2 3 0

1*2 + 1*1 1*3 + 1*2 1*0 + 1*3 3 5 3

11. Обратная матрица, её существование и единственность.

Пусть А – квадратная матрица, тогда ОБРАТНОЙ матрицей к данной называется такая матрица (А^-1), что выполняется равенство А*А^-1 = А^-1*А = Е (единичная матрица)

Обратная матрица не может быть (не существует) для таких матриц, у которых соответствующий определитель равен 0.

Матрица, определитель которой равен 0 называется ВЫРОЖДЕННОЙ (соответственно, не равен 0 - невырожденная)

_______________________________________

П усть А = 0, предположим, что А^-1 существует, тогда А* А^-1 = Е.

По теореме об определителе произведения матриц

А * А^-1 = Е (1)

Н е трудно убедиться, что Е = 1

Тогда из (1) вытекает, что 0=1, что неверно, а значит вырожденная матрица обратной не имеет.

ТЕОРЕМА без доказательства

Любая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу.

_______________________________________________

Можно доказать, что построенная матрица – единственная.

12. Алгоритм нахождения матрицы обратной для n=3.

Алгоритм построения обратной матрицы:

Итак, дана невырожденная матрица 3 порядка

Составим так называемую присоединенную матрицу (А*) к матрице А по следующему правилу:

А = а₁₁ а₁₂ а₁₃ (поменяем местами строки и столбцы)

а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

А = а₁₁ а₂₁ а₃₁ (вместо элементов в А* ставятся их алгебраические

а₁₂ а₂₂ а₃₂ дополнения)

а₁₃ а₂₃ а₃₃

А * = А₁₁ А₁₂ А₁₃ (каждый элемент матрицы делится на А )

А₂₁ А₂₂ А₂₃

А₃₁ А₃₂ А₃₃

А ^-1 = (1/ А ) * (А*)