Матрица, основная терминология, сложение матриц и умножение их на число. Пример.
Прямоугольная таблица чисел mxn называется МАТРИЦЕЙ.
а11 а12 … а1n
а21 а22 … а2n
а31 …
аm1 аm2 … аmn
Если m = n, то матрица называется КВАДРАТНОЙ.
а
11
а12
а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
Если m ≠ n, то – ПРЯМОУГОЛЬНОЙ.
а
11
а12
а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
а41 а42 а43
В частности, в матрице 1*n (строка), m*1 (столбец).
Матрица обозначается заглавными буквами – А, В, С …
Две матрицы будут считаться равными, если они одинакового размера и соответственные элементы равны.
Квадратная матрица называется ДИАГОНАЛЬНОЙ, ели все её элементы, кроме элементов на главной диагонали, равны 0.
а 11 0 0
0 а22 0
0 0 а33
ЕДИНИЧНАЯ (Е) матрица – диагональная матрица, в которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны 1.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Матрица, все элементы которой равны 0, называется НУЛЕВАЯ (Ѳ).
О
бозначение
определителя для квадратной матрицы А
= А
Матрица, определитель которой равен 0 называется ВЫРОЖДЕННОЙ (соответственно, не равен 0 - невырожденная)
Пусть А – квадратная матрица, тогда ОБРАТНОЙ матрицей к данной называется такая матрица (А-1), что выполняется равенство А*А-1 = А-1*А = Е (единичная матрица)
Действия с матрицами:
1) Сложение матриц
А + В = С
Матрицы можно складывать, если они имеют одинаковые размеры
Результат сложения – матрица того же размера
Элементы данной матрицы – сумма соответствующих элементов обеих матриц
Не трудно убедиться в справедливости следующих равенств:
А + В = В + А
А + В + С = А + С + В и т.д.
А + Ѳ = А
2) Умножение на число
А * α – матрица того же размера, а элементы образуются умножением каждого элемента на данное число.
Умножение матриц, свойства этой операции. Пример.
С = А*В А*В ≠ В*А
Произведение матриц определяется не для всех матриц, а только для таких, у которых число столбцов А = числу строк В.
«длина» строки А = «длине» столбца В
Умножение матриц осуществляется по правилу «строка*столбец»
А
=
1 0 В= 2 3 0
1 1 1 2 3
А
*В
= С= 1*2 + 0*1 1*3 + 0*2 1*0 + 0*3 = 2 3 0
1*2 + 1*1 1*3 + 1*2 1*0 + 1*3 3 5 3
Обратная матрица, её существование и единственность.
Пусть А – квадратная матрица, тогда ОБРАТНОЙ матрицей к данной называется такая матрица (А-1), что выполняется равенство А*А-1 = А-1*А = Е (единичная матрица)
Обратная матрица не может быть (не существует) для таких матриц, у которых соответствующий определитель равен 0.
Матрица, определитель которой равен 0 называется ВЫРОЖДЕННОЙ (соответственно, не равен 0 - невырожденная)
_______________________________________
П
усть
А = 0, предположим, что А-1
существует,
тогда А* А-1
=
Е.
По теореме об определителе произведения матриц
А * А-1 = Е (1)
Н е трудно убедиться, что Е = 1
Тогда из (1) вытекает, что 0=1, что неверно, а значит вырожденная матрица обратной не имеет.
ТЕОРЕМА без доказательства
Любая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу.
_______________________________________________
Можно доказать, что построенная матрица – единственная.
------?------
Алгоритм нахождения матрицы обратной для n=3.
Алгоритм построения обратной матрицы:
Итак, дана невырожденная матрица 3 порядка
Составим так называемую присоединенную матрицу (А*) к матрице А по следующему правилу:
А = а11 а12 а13 (поменяем местами строки и столбцы)
а21 а22 а23
а31 а32 а33
А
= а11
а21
а31
(вместо элементов в А* ставятся их
алгебраические
а12 а22 а32 дополнения)
а13 а23 а33
А
*
= А11
А12
А13
(каждый элемент матрицы делится на А
)
А21 А22 А23
А31 А32 А33
А -1 = (1/ А ) * (А*)
Запись системы линейных уравнений в матричной форме.
А
=
а11
а12
… а1n
-
матрица коэффициентов системы
а21 а22 … а2n
а31 …
аm1 аm2 … аmn
В
=
b1
b2
…
bn
X = x1
x2
…
xn
A *X = а11x1 + а12x2 + … а1nxn
а21x1 + а22x2 + … а2nxn
а31x1 …
аm1x1 + аm2x2 +… аmnxn
A*X = B - система в матричном виде
AX = B /* А-1
(А-1 * A) * X = А-1 * B
E*X = А-1 * B
X= А-1 * B
Решение системы линейных уравнений в матричной форме. Пример.
Определение ранга матрицы. Теорема об элементарных преобразованиях матрицы.
Нахождение ранга матрицы. Пример.
Теорема Кронекера-Капелли. пример.
Метод Гаусса. Решение квадратных систем. Идея метода. Основные (базисные) и свободные неизвестные.
Метод Жордана-Гаусса. Решение произвольной системы уравнения.
Общее, частное и базисное решение системы. Пример.
Найти общее, частное и базисное решение системы.
Вычислить определитель 3 и 4 порядка.
Найти обратную матрицу и проверить результат.
Решить систему матричной формы (3 порядка).
Ранг матрицы.
Умножение матрицы.