4. Миноры и алгебраические дополнения 3 порядка. Примеры.

Если из определителя 3 порядка вычеркнуть какую-нибудь строку и столбец, то из оставшихся элементов можно составить определитель 2 порядка, который называется МИНОРОМ того элемента, который вычеркивался дважды

М ₂₁ = а₁₂ а₁₃

а₃₂ а₃₃

АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДОПОЛНЕНИЕМ некоторого элемента называется его минор, взятый со знаком «+» или «-», в зависимости от суммы номеров, вычеркнутых со строки и столбца (если число четное, то «+», если нечетное, то «-»)

5. Теорема о разложении определителя 3 порядка по элементам строки. Пример.

ТЕОРЕМА

Сумма произведений элементов некоторой строки на их алгебраическое дополнение – равна определителю.

Сумма же произведения элементов некоторой строки на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки – равна 0.

а ₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₃₁*А₃₁ + а₃₂*А₃₂ + а₃₃*А₃₃ =

а₃₁ а₃₂ а₃₃

= а₃₁* а₁₂ а₁₃ - а₃₂* а₁₁ а₁₃ - а₃₃* а₁₁ а₁₂

а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂

Данное равенство называется разложением определителя по элементам 3 строки

6. Теорема о разложении определителя 3 порядка по элементам столбца. Пример.

ТЕОРЕМА

Сумма произведений элементов некоторого столбца на их алгебраическое дополнение – равна определителю.

Сумма же произведения элементов некоторого столбца на соотв-щее алгебраическое дополнение другого столбца – равна 0.

а ₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₁₁*А₁₁ + а₂₁*А₂₁ + а₃₁*А₃₁ =

а₃₁ а₃₂ а₃₃

= а₁₁* а₂₂ а₂₃ - а₂₁* а₁₂ а₁₃ - а₃₁* а₁₂ а₁₃

а₃₂ а₃₃ а₃₂ а₃₃ а₂₂ а₂₃

7. Понятия определителя n-го порядка. Примеры вычислителя 4 порядка.

Определителем n-го порядка называется число, которое «конструируется» из данных n² упорядоченных чисел по правилу:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ … а_1n

∆= а₂₁ а₂₂ а₂₃ … а_2n

а₃₁ …

а_n1 а_n2 а_n3 … а_nn

Если из определителя вычеркнуть какой-нибудь ряд, то из оставшихся элементов можно «организовать» определитель (n-1)-го порядка.

Этот определитель будет называться минором того элемента исходного определителя, который вычеркивался дважды. (M_ij)

Алгебраическим дополнением (А_ij) элемента а_ij называется минор, взятый с соответствующим знаком.

- правило определения знака такое же, как и в определителе 3 порядка

Можно доказать, что определитель n-го порядка обладает всеми свойствами определителя 3 порядка, в частности, этот определитель можно вычислять, раскладывая по элементам строки, столбца.

8. Правило Крамера. Решения системы nxm. Пример решения системы 2х2.

Метод Крамера ( формулы Крамера ) — способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнений. Применение метода Крамера возможно, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю. В таком случае система имеет единственное решение 

a x + by = c

dx + ey = f

∆ = a b = a*e – b*d

d e

∆ x = c b = c*e – b*f

f e

∆ y = a c = a*f – c*d

d f

_______________

x = ∆x

x

y = ∆y

y