Средняя скорость

Мгновенная скорость движения.

Обратимся теперь к задаче, известной вам из физики. Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть координата х точки в момент времени t равна x(t). Как и в курсе физики, предполагаем, что движение осуществляется непрерывно и плавно. Иными словами, речь идет о движениях, наблюдаемых в реальной жизни. Для определенности будем считать, что речь идет о движении автомобиля по прямолинейному участку шоссе. Поставим задачу: по известной зависимости x(t) определить скорость, с которой движется автомобиль в момент времени t (как вы знаете, эта скорость называется мгновенной скоростью). Если зависимость х(t) линейна, ответ прост: в любой момент времени скорость есть отношение пройденного пути ко времени. Если движение не равномерно, задача сложнее. Тот факт, что в любой момент времени автомобиль движется с какой-то определенной (для этого момента) скоростью, очевиден Эту скорость легко найти, сделав в момент времени t₀ фотоснимок спидометра. (Показание спидометра указывает значение мгновенной скорости в момент t). Чтобы найти скорость v_мгн(t₀), зная х(t), на уроках физики вы поступали следующим образом Средняя скорость за промежуток времени длительностью |Δt| от t₀ до t₀ + Δt следующая:

Как мы предположили, тело движется плавно. Поэтому естественно полагать: если ?t очень мало, то за этот промежуток времени скорость практически не меняется. Но тогда средняя скорость (на этом промежутке) практически не отличается от значения v_мгн(t₀), которое мы ищем. Это подсказывает следующий способ определения мгновенной скорости: найти v_ср(Δt) и посмотреть, к какому значению оно близко, если считать, что Δt практически не отличается от нуля. Рассмотрим конкретный пример. Найдем мгновенную скорость тела, брошенного вверх со скоростью V₀. Высота его в момент t находится по известной формуле

1) Найдем сначала Δh:

2)

3) Будем теперь уменьшать Δt, приближая его к нулю. Для краткости говорят, что Δt стремится к нулю. Это записывается так: Δt → 0 Как легко понять, в этом случае значение -gΔt/2 тоже стремится к нулю, т. е.

А поскольку величины V₀ и –gt₀, а значит, и V₀-gt₀ постоянны, из формулы (1) получаем:

Итак, мгновенная скорость точки в момент времени t₀ находится по формуле