Первый замечательный предел

Доказательство:

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1

П усть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что: (где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Т.к. при

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Т.о. в соответствии с леммой о 2х милиционерах = 1

Следствия:

Второй замечательный предел

Доказательство:

Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая получим

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность возрастающая, при этом (2)*Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии: Поэтому (3)*

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: ,где — это целая часть x. => =>

Если ,то Поэтому, согласно пределу Имеем

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Следствия:

9.) Сравнение бесконечно малых. Теорема о замене бесконечно малых на эквивалентные в пределе и теорема о главной части бесконечно малых.

Пусть функции a(x) и b(x) – б.м. при x ® x₀ .

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

1. a(x) называется бесконечно малой более высокого порядка чем b(x) если

Записывают: a(x) = o(b(x)) .

2. a(x) и b(x) называются бесконечно малыми одного порядка, если

где СÎℝ  и C ¹ 0 .

Записывают: a(x) = O(b(x)) .

3. a(x) и b(x) называются эквивалентными, если

Записывают: a(x) ~ b(x).

4. a(x) называется бесконечно малой порядка k относи- тельно бесконечно малой b(x), если бесконечно малые a(x) и (b(x))^k имеют один порядок, т.е. если

где СÎℝ  и C ¹ 0 .

ТЕОРЕМА 6 (о замене бесконечно малых на эквивалентные).

Пусть a(x), b(x), a₁(x), b₁(x) – б.м. при x ® x₀. Если a(x) ~ a₁(x), b(x) ~ b₁(x),

то

Доказательство: Пусть a(x) ~ a₁(x), b(x) ~ b₁(x), тогда

=

ТЕОРЕМА 7 (о главной части бесконечно малой).

Пусть a(x) и b(x) – б.м. при x ® x₀, причем b(x) – б.м. более высокого порядка чем a(x).

= , a так как b(x) – более высокого порядка чем a(x) ,то , т.е. из ясно, что a(x) + b(x) ~ a(x)

10)Непрерывность функции в точке(на языке пределов эпсилон-дельта,геометрическое) Односторонняя непрерывность. Непрерывность на интервале, на отрезке. Свойства непрерывных функций.

1. Основные определения

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ .

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ если справедливо равенство

Замечания.

1 ) В силу теоремы 5 §3 равенство (1) можно записать в виде

Условие (2) – определение непрерывности функции в точке на языке односторонних пределов.

2 ) Равенство (1) можно также записать в виде:

Говорят: «если функция непрерывна в точке x₀ , то знак предела и функцию можно поменять местами».

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке -).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ если >0 >0 такое, что

если xU(x₀, ) (т.е. | x – x₀ | < ),

то f(x)U(f(x₀), ) (т.е. | f(x) – f(x₀) | <  ).

Пусть x, x₀  D( f ) (x₀ – фиксированная, x – произвольная)

Обозначим: x = x – x₀ – приращение аргумента

f(x₀) = f(x) – f(x₀) – приращение функции в точке x₀

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрическое).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

Пусть функция f(x) определена на промежутке [x₀ ; x₀ + ) (на промежутке ( x₀ – ; x₀] ).

О ПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ справа (слева), если справедливо равенство

Очевидно, что f(x) непрерывна в точке x₀  f(x) непрерывна в точке x₀ справа и слева.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a; b) если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a; b] если она непрерывна на интервале (a; b) и имеет одностороннюю непрерывность в граничных точках (т.е. непрерывна в точке a справа, в точке b – слева).

11)Точки разрыва, их классификация

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ , но не является непрерывной в этой точке, то f(x) называют разрывной в точке x₀ , а саму точку x₀ называют точкой разрыва функции f(x) .

Замечания.

1) f(x) может быть определена в неполной окрестности точки x₀ .

Тогда рассматривают соответствующую одностороннюю непрерывность функции.

2) Из определения  точка x₀ является точкой разрыва функции f(x) в двух случаях:

а) U(x₀, )D(f) , но для f(x) не выполняется равенство

б) U^*(x₀, )D(f) .

Для элементарных функций возможен только случай б).

Пусть x₀ – точка разрыва функции f(x) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x₀ называется точкой разрыва I рода если функция f(x) имеет в этой точке конечные пределы слева и справа.

Если при этом эти пределы равны, то точка x₀ называется точкой устранимого разрыва, в противном случае – точкой скачка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x₀ называется точкой разрыва II рода если хотя бы один из односторонних пределов функции f(x) в этой точке равен  или не существует.

12) Свойства функций, непрерывных на отрезке [a,b](теоремы Вейерштрасса(без док-ва) и Коши

Теорема Вейерштрасса

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], тогда

1)f(x)ограничена на [a,b]

2)f(x) принимает на промежутке [a,b] своё наименьшее и наибольшее значение

Определение: Значение функции m=f[x₁]зовется наименьшим, если m≤f(x) для любого x€ D(f).

Значение функции m=f[x₂]зовется наибольшим, если m≥f(x) для любого x€ D(f).

Наименьшее\наибольшее значение функция может принимать в нескольких точках отрезка.

f(x₃)=f(x₄)=max

Теорема Коши.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и х – число, заключенное между f(a) и f(b),тогда существует хотя бы одна точка х₀€[a,b] такая, что f(x₀)= g

Доказательство:

Для определенности допустим, что f(a)<f(b)

П ромежуток [a,b] поделим пополам точкой с на отрезки [a,c]и [c,b]

Если f(c)= g, то х₀=с

Если f(c)> g, то х₀€ [a,c]

Если f(c)< g, то х₀€ [c,b]

Если f(x)< g то поставим в соответствии точки х знак «+»

Если f(x)> g то поставим в соответствии точки х знак «-», тогда концы отрезка [a,b] имеют разные знаки

После деления отрезка ab выберем ту часть отрезка, где знаки разные и обозначим его как [a₁,b₁], тогда f(a₁)< g<f(b₁) .Отрезок a₁b₁ разобьем пополам и выберем из двух частей отрезка тот, на левом конце которого значение меньше, чем g, а на правом - больше и обозначим как a₂b₂ и т.д.

Продолжая данный процесс неограниченно , получаем последовательность вложенных отрезков.

Поскольку отрезки вложены друг в друга и стягиваются, то существует х₀, которое принадлежит всем отрезкам одновременно.

Докажем, что f(x₀)= g :

Рассмотрим 2 последовательности : {a_n} –возрастающая и ограниченная; {b_n} - убывающая и ограниченная, значит они имеют предел =>

{f(an)} {f(bn)}

f(a_n)< g<f(b_n) ,для любого n, тогда

с учетом того, что f =f(x₀)

имеем: f(x₀)≤ g≤f(x₀), т.е. g=f(x₀)

СЛЕДСТВИЕ 1 (теоремы Коши).

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и на его концах принимает значения разных знаков, то на (a; b) существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль.

СЛЕДСТВИЕ 2 (теорем Коши и Вейерштрасса).

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то множеством ее значений является отрезок [m; M], где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a; b] .

Упражнения

1.)Доказать, что последовательность может иметь не более одного предела.

Пусть lim_nx_n = A₁ и lim_nx_n = A₂, A₁ A₂, тогда выберем  - окрестности точек A₁, A₂, так чтобы они не пересекались. В качестве  можно взять число  = 1/2|A₁-A₂|. По определению предела  N₁,N₂, что при n>N₁ x_nU(A₁), а при n>N₂ x_n U(A₂). Следовательно, при n> max{N₁,N₂} x_n U(A₁)U(A₂), что невозможно, так как U(A₁) U(A₂) = .

2.)Доказать, что .

= a, = b, c_n=x_n+y_n

=c и c=a+b (т.е. что он существует и равен сумме пределов)

= a, значит x_n=а+б.м.1

b, значит y_n=b+б.м.2

c_n=x_n+y_n=a+b+б.м.3 (сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малое)

следовательно c_n имеет придел и он равен сумме пределов.

3)Доказать, что произведение бесконечно малой и ограниченной последовательности есть бесконечно малая последовательность.

{x_n}-б.м.п.

{y_n}-ограниченная последовательность

M>0 такое, что n выполняется | y_n |≤M и для  ε/M>0 , N такой, что для всех n≥N выполняется |x_n*y_n|=|x_n|*|y_n|< (ε/M)*M= ε=> произведение {x_n}*{y_n} – бесконечно малая последовательность.

4.) Доказать, что если все члены последовательности неотрицательны (положительны), то ее предел – неотрицательный.

Т.к. предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных, то последовательность предел последовательности u_x можно расписать так: lim(u₁ + u₂+ ... + u_k) = lim u₁+lim u₂ + ... +lim u_k

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится также. Пусть lim u₁ =a₁ и lim u₂ = a₂. Тогда на основе теоремы (если функция f(x) представлена в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой y=b+ , то lim y =b(при х->a;x->∞))

u₁ =a₁+α₁ , u₂ =a₂+α₂ , гдеα₁ и α₂ –бесконечно малые,

значит u₁+ u₂=(a₁+ a₂) +(α₁+α₂)

т.к. (a₁+ a₂)- величина постоянная, а (α₁+α₂) – бесконечно малая, то можем заключить согласно теореме(если функция f(x) представлена в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой y=b+ , то lim y =b(при х->a;x->∞)) , что

lim(u₁+ u₂ )=a₁+ a₂ = lim u₁+ lim u₂

А т.к. для любого х , элемент u_x>0 ,то и соответственно их сумма будет положительной

5) Доказать, что если сходящиеся последовательности{x _n } и {y _n } удовлетворяют условию x _n ≥y _n, то ≥

Пусть x _n ≥0, ),тогда имеем ≥0.

Допустим, что b <0, но тогда имеем |x _n - ≥| |.

Т.е. |x _n - b| не стремится к 0 при n->∞тогда и x _n не стремится к b при n->∞,значит b≥0

Таким же образом имеем для y _n≥0

А потом и для x _n и y _n≤0

Зная, что x _n ≥y _n то (x _n -y _n)>0,то и >0

=> 0

≤

6)Доказать лемму о двух милиционерах.

Если u≤z≤v, и = b ; =b, то

Доказательство: из u≤z≤v следует, что u-b ≤z-b ≤ v-b, из условия = b ; =b, следует, что при  ε найдется некоторая окрестность в точку а, в которой будет выполняться неравенство|u-b|< ε, так же найдется некоторая окрестность с центром в точке а, в которой будет соблюдаться неравенство|v-b|< ε

В меньшей из указанных окрестностях будут выполняться неравенства:

– ε<u-b< ε

– ε<v-b< ε=>будут выполняться неравенства – ε<u-b< ε=>

7) Доказать, что сумма 2х бесконечно больших последовательностей одного знака является б.б.п. того же знака.

Пусть {x _n } и {y _n } – бесконечно большие последовательности одного знака ,тогда

{x _n } : А>0, N₁€ множеству натуральных чисел такое, что n>N₁ , |x_n|>A

{y _n }: А>0, N₂€ множеству натуральных чисел такое, что n>N₂ , |y_n|>A

Возьмем N=max(N₁,N₂)

Тогда n>N имеем: |x_n+y_n|≤|x_n| ₊ |y_n|>2A , A>0,

Т.к. sgn x_n≤sgn y_n, где sgn x =

8) Доказать, что сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей является б.б.п.

Пусть

{a_n}-б.б.п. тогда  М>>0, N€ множеству натуральных чисел такие, что |а_n|>>M, n>N, имеем |a_n|> М

{b_n} – ограниченная последовательность: М₁>0, |b_n|≤M₁, n € множеству натуральных чисел.

M>>M₁

Возьмем -|b_n|≥-M

Тогда |а_n|-|b_n|> М₁ -M ;  n >0 т.к. |c_n|= |а_n|-|b_n| >(М₁ –M)>>0

Так как выражение верно для n>N, где N€ множеству натуральных чисел, то |c_n|-б.б.п.

9) Доказать,что произведение 2х б.б.п. является б.б.п.

Т.к. {a_n}-б.б.п. тогда  М₁>>0, N€ множеству натуральных чисел такие, что |а_n|>>M₁, n>N, имеем |a_n|> М₁

Т.к. {b_n}-б.б.п. тогда  М₂>>0, N€ множеству натуральных чисел такие, что |b_n|>>M₂, n>N, имеем |b_n|> М₂

Тогда |c_n|=|а_n|*|b_n|> М₁* М₂>>0, n>N, где N€ множеству натуральных чисел

10) Доказать что произведение б.б.п. и отделимой от нуля ограниченной последовательности является б.б.п.

Пусть

{a_n}-б.б.п. тогда  М>>0, N€ множеству натуральных чисел такие, что |а_n|>>M, n>N, имеем |a_n|> М

{b_n} – ограниченная последовательность: М₁>0, |b_n|≤M₁, n € множеству натуральных чисел.

M>>M₁

Тогда |а_n|*|b_n|> М₁ *M ;  n >0 т.к. |c_n|= |а_n|*|b_n| >(М₁ *M)>>0

Так как выражение верно для n>N, где N€ множеству натуральных чисел, то |c_n|-б.б.п.

11) Уметь доказывать по определению, что ,где{x}-некоторая заданная сходящаяся последовательность

ε >0  N_(ε) такое, n>N выполняется |x_n-A|< ε

- ε<x_n-A< ε

A- ε<x_n< ε+A

X_n->A

12) Уметь доказывать по определению, что ,где{x}-некоторая заданная бесконечно большая последовательность

Пусть М>>0, тогда N€ множеству натуральных чисел такие, что |xn|>M, n>N, т.е. все члены последовательности за исключением ,может быть, конечного их числа находятся в ε-окрестности точки∞

13)Уметь доказывать по определению, что ,гдеf(x)-некоторая заданна функция

ε >0 , δ_(ε)>0 такое, что при х, удовлетворяющему неравенству 0<|x-x₀|<δ

Выполняется |f(x)-А|<ε

14) Уметь доказывать по определению, что ,гдеf(x)-некоторая заданна функция

Пусть М>>0, тогда существуют N€ множеству натуральных чисел такие, что f(x)>M, n>N, т.е. все члены функции находятся в ε-окрестности точки ∞

16.) Доказать, что сумма двух бесконечно больших функций одного знака является бесконечно большой того же знака.

Пусть даны f(x) и g(x) – бесконечно большие функции. Тогда пусть φ(x)- их сумма, т.е.

φ(х)= f(x) + g(x). Из этого равенства следует что |φ(х)|>|f(x)| и |φ(х)|>|g(x)|. Тогда

и т.к. и

. Отсюда можем сказать что φ(х)- бесконечно большая функция. Ч.т.д.

18.) Доказать, что произведение двух бесконечно больших функций является бесконечно большой функцией.

Пусть даны f(x) и g(x) – бесконечно большие функции. Тогда пусть φ(x)- их произведение, т.е.

φ(х)= f(x) * g(x). Из этого равенства следует что |φ(х)|>|f(x)| и |φ(х)|>|g(x)|. Тогда

и т.к. и

. Отсюда можем сказать что φ(х)- бесконечно большая функция. Ч.т.д.

19.)Доказать следствия первого замечательного предела.

20.)Доказать следствия второго замечательного предела.