Теорема о вычислении скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе

В евклидовом (унитарном) пространстве скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами в базисе , вычисляется по правилу тогда и только тогда, когда базис - ортонормированный.

12. Нахождение модуля вектора, угла между векторами с помощью скаляр. произв.

13. Векторное произведение двух векторов; его свойства. Вычисление векторного произведения векторов в ортонормированном базисе.

Определение. Векторным произведением 2-х векторов называется вектор (Х-векторное произведение) 1. такой что

Длина вектора c равна S параллелограмма, построена на векторах и .

2. :

3. Направление вектора определяется по правилу буравчика или по правилу правой руки

Если вектор поворачивать к вектору по кратчайшему повороту, то направление правого винта показывает направление вектора .

Свойства векторного произведения.

1) ;

2) , если ïï или = 0 или = 0;

3) (m )´ = ´(m ) = m( ´ );

4) ´( + ) = ´ + ´ ;

Векторное произведение в координатной форме.

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

 = = I* -J* +K* =* =ad-bc

Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Вычисление векторного произведения векторов в ортонормированном базисе.

14. Смешанное произведение трех векторов; его свойства. Геометрический смысл смешанного произведения.

Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .(aXb)c Обозначается или ( , , ).

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .v=|abc|

Геометрический смысл заключается в том, что по абсолютной величине смешанное произведение 2-х векторов = объему параллелепипеда, построенных на векторах

Объем этого параллелепипеда = произведению векторов V=| |

Свойства.

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из векторов равен нулю;

б) два из векторов коллинеарны;

в) векторы компланарны.abc=0 ck abc компланарны

2)

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

6)Если , , то

15. Прямая на плоскости и в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

            Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

Замечание. Каждые точки на прямой соответствует свое значение параметра t.

При движении точки по прямой параметра t непрерывно меняется.

            Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

.

Замечание. Каждые точки на прямой соответствует свое значение параметра t.

При движении точки по прямой параметра t непрерывно меняется.

Уравнение прямой проходящей через 2 данные точки.

16. Уравнение плоскости в пространстве (вывод). Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

17. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.

₁

 0

Угол между двумя плоскостями в пространстве  связан с углом между нормалями к этим плоскостям ₁ соотношением:  = ₁ или  = 180⁰ - ₁, т.е.

cos = cos₁.

Определим угол ₁. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:

, где

(A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

.

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

Угол между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.







Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол  = 90⁰ - , где  - угол между векторами и . Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме:

18. Матрицы. Основные понятия. Виды матриц: прямоугольная, квадратная, единичная, матрица-строка, матрица-столбец. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их свойства.

19. Операция умножения матриц; ее свойства. Умножение матрицы-строки на матрицу-столбец. Примеры. Транспонирование матриц. Свойства операции транспонирования.

20. Определители квадратных матриц, миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Свойства определителей.

21. Обратная матрица. Определение, условие существования, алгоритм вычисления. Свойства обратных матриц.

22. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы путем приведения ее к ступенчатому виду. Пример.

23. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Критерий единственности решения. Решение системы n х n методом Крамера.

24. Запись системы линейных уравнений в виде матричного уравнения. Решение системы n х n матричным способом.

25. Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса. Пример. Определение числа решений по виду приведенной к ступенчатому виду расширенной матрицы системы.

26. Однородные системы линейных уравнений. Нахождение нетривиальных (ненулевых) решений системы методом Гаусса. Пример. Условие существования нетривиальных решений. Фундаментальная система решений.